1.	Regresní funkce

2.	Regresní přímka

3.	Metoda nejmenších čtverců

3.1.	Jaké informace získáme z regresní přímky?

"Vysvětlete princip regresní analýzy a metody nejmenších čtverců. Uveďte, jaké informace lze získat z regresní přímky.

V některých vědách (zejména ekonomických a přírodních) se často pracuje s proměnlivými veličinami, jedna je závisle proměnná (y) druhá je nezávisle proměnná (x). Tuto závislost lze buď vyjádřit funkčním předpisem y = φ(x), který neznáme nebo ji nelze funkčně vyjádřit (jedné nezávislé proměnné odpovídají dvě závislé).
Měříme hodnoty závislé proměnné (y) při nastavených hodnotách nezávislé proměnné (x). Výsledkem měření je pak n dvojic (xi ,yi ), i = 1, 2, … , n přičemž n > 2 (nelze posuzovat funkční závislost mezi jedním nebo dvěma body).
Pokud bychom opakovaně zjišťovali hodnotu y při nastaveném x, bude se mírně lišit. Je to dáno působením mnoha náhodných vlivů („šum“). Proměnná y se tedy chová jako náhodná veličina, tuto NV značíme jako Y (y je teda její realizace).
„Šum“, který ovlivňuje hodnoty y je NV, značena e. O této náhodné veličině se předpokládá, že její střední hodnota je rovna nule, tedy E(e) = 0.

Regresní funkce
Označuje se η(x) a obsahuje neznáme parametry, které se značí β1,β2, … , βp (tzv. regresní koeficienty), kde p ≥ 1. Využívá se k vyjádření závislosti náhodné veličiny Y na proměnné x. Pokud určíme funkci η(x) pro zadaná data, pak říkáme, že jsme zadaná data „vyrovnali regresní funkcí“.
Pro zadaná data (xi ,yi ), i = 1, 2, … , n se snažíme zvolit vhodnou funkci η(x, β1,β2, … , βp) a odhadnout její koeficienty tak, aby vyrovnání hodnot yi bylo v jistém smyslu „co nejlepší“.

Regresní přímka
Jedná se o nejjednodušší příklad regresní úlohy, kdy regresní funkce η(x) je vyjádřena přímkou, tato přímka je obecně dána předpisem
η(x) = β1 + β2x

K odvození bodových odhadů skutečných parametrů β1 a β2 použijeme klasickou metodu nejmenších čtverců.
Odhady koeficientů β1, β2 regresní přímky pro zadané dvojce (xi ,yi ), označíme b1, b2. Hledáme taková b1, b2, která minimalizují funkci S(b1, b2), tato funkce je vyjádřena předpisem:


[vzorec]


funkce je rovna součtu druhých mocnin odchylek naměřených hodnot yi od předpokládaných hodnot η(x) = β1 +β2x na regresní přímce.
Při řešení praktického příkladu se většinou postupuje tak, že se data zapíší vhodným
způsobem do tabulky, po té se graficky znázorní.
Dále se počítají výběrové průměry x a y.
K výpočtu koeficientu b2 je třeba dopočítat sumu xiyi, sumu xi
Tento koeficient se dá interpretovat takto:
„Pokud by se hodnota x zvýšila o jednotku, průměrná hodnota y by vzrostla přibližně o tento koeficient.“
Dále se vypočítá koeficient b1."

Práce je ve formátu Adobe Acrobat (*.pdf). Obsahuje několik vzorců, rozsah čistého textu je cca 1 strana.