1.

Úvod

2.

Život

3.	Neeuklidovská geometrie

3.1.	Hyperbolická geometrie

4.	Lobačevskéhe axiom

4.1.	Beltrami-Kleinův model rovinné Lobačevského geometrie

"• Život
Lobačevského otec Ivan Maximovič Lobačevskij byl úředníkem zeměměřičské kanceláře v Nižnim Novgorodě. Když v roce 1800 zemřel, odstěhoval se malý Nikolaj se svojí matkou Praskoviou Alexandrovnou Lobačevskou do Kazaně. Zde Lobačevskij vystudoval gymnázium a poté navštěvoval Kazaňskou státní univerzitu, kde v roce 1811 získal titul magistr v oboru matematika a fyzika. Během studia byl nejvíce ovlivněn svým profesorem Martinem Bartelsem. Právě Bartelsovy přednášky z dějin matematiky pravděpodobně podnítily pozdější Lobačevského zájem o Euklidovy axiomy. Roku 1814 začal Lobačevskij na Kazaňské univerzitě přednášet a roku 1822 se stal profesorem. Kromě matematiky a fyziky vyučoval také astronomii. Mezi lety 1827 a 1846 byl na této univerzitě rektorem. Roku 1832 se oženil s Varvarou Alexivnou Moisievou a měl s ní sedm dětí.1

Lobačevskij založil neeuklidovskou geometrii a prokázal, že 5. Euklidův postulát o rovnoběžnosi přímek se nedá dokázat.

• Neeuklidovská geometrie
geometrie založená na stejných axiomech jako Euklidovská geometrie s výjimkou pátého Eukleidova axiomu (axiomu rovnoběžnosti).2

obecné označení pro takové geometrie (tj. systémy splňující první čtyři Euklidovy postuláty), které nesplňují pátý Euklidův postulát. Jejími nejdůležitějšími případy jsou hyperbolická geometrie, eliptická geometrie (a její zvláštní případ sférická geometrie).3

Postuláty:
1. Každými dvěma body lze vést jedinou přímku.
2. Přímku lze neomezeně prodloužit.
3. Z daného bodu lze sestrojit kružnici o daném poloměru.
4. Všechny pravé úhly jsou si rovny.4


o Hyperbolická geometrie
v hyperbolické geometrii existuje nekonečně mnoho přímek procházejících bodem A a neprotínajících p.

(obrázek)

• Lobačevského axiom
„V rovině prochází bodem mimo přímku alespoň dvě různé s ní se neprotínající přímky.“ 2

o Beltrami-Kleinův model rovinné Lobačevského geometrie
V libovolné euklidovské rovině mějme dánu kružnici k, kterou nazýváme základní kružnicí. Body ležící uvnitř této kružnice budeme chápat jako vlastní body hyperbolické roviny H. V případě potřeby můžeme tuto rovinu rozšířit o nevlastní body, tu pak označíme H*. Body ležící na základní kružnici pak nazveme nevlastní body 1. druhu a body vně kružnice nazveme nevlastní body 2. druhu (někdy téžvnější).
Vlastními přímkami budou tětivy základní kružnice. Je zřejmé, že každými dvěma body roviny H lze vést právě jednu tětivu, tedy hyperbolickou přímku. V rozšířené hyperbolické rovině H* uvažujeme přímky i s jejich nevlastními body, tj. tětivy jako přímky prodloužené mimo základní kružnici. Pak přímky reálně protínající kružnici jsou již definované vlastní přímky, tečny ke kružnici (přímky procházející dvěma soumeznými nevlastními body 1. druhu) nazveme nevlastní přímky 1. druhu a přímky reálně neprotínající základní kružnici jsou nevlastními přímkami 2. druhu2.

Vlastní přímky mají tedy všechny tři druhy bodů. Přímky, které nemají žádný vlastní bod jsou pak nevlastní."

Zpracováno jako seminární práce na Gymnáziu dr. A. Hrdličky v Humpolci.
V práci se objevují překlepy. Součástí práce je drobná tabulka a obrázek o rozsahu cca 1/3 strany.
Práce je kompilačního charakteru, své zdroje uvádí v seznamu literatury a v textu cituje.
Titulní strana nese označení práce "Ivan Maximovič Lobačevskij", text ale pojednává o jeho synovi, matematiku Nikolaji Ivanoviči Lobačevském.