Seminarky.cz > Studijní podklady > Skripta, učební texty > > Diferenciální a integrální počet I.

Diferenciální a integrální počet I.

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na diferenciální a integrální počet. V první části je definována limita a spojitost. Dále poukazuje na výpočty limit a nakonec se zabývá derivováním.

Obsah

1.
Definice limity, spojitost
2.
Výpočty limit
3.
Derivování

Úryvek

"Definice limity, spojitost
Rozšíˇrená reálná osa – množina všech reálných ˇcísel obohacená
o nekoneˇcna, znaˇcíme ji R, tedy R = R [ {−1,1}.
Okolí bodu – množina bod°u „blízkých“ danému bodu, viz tabulka.
Okolí bodu a
název „stˇred“ okolí okolí (vždy je  > 0)
okolí a 2 R (a − , a + )
okolí, prstencové okolí a = +1
a = −1
(−1, x), x 2 R
(x,+1), x 2 R
prstencové okolí a 2 R (a − , a) [ (a, a + )
levé okolí a 2 R (a − , a)
pravé okolí a 2 R (a, a + )
Limita – hodnota L 2 R je limitou funkce f v bodˇe x0 2 R,
znaˇcíme L = limx!x0 f(x), jestliže f je definována na nˇ ejakém
prstencovém okolí x0 a platí-li
8U 2 U(L) 9P 2 P(x0) : x 2 P ) f(x) 2 U,
kde U(L) znaˇcí množinu všech okolí bodu L a P(x0) znaˇcí
množinu všech prstencových okolí bodu x0. Chceme-li definovat
limitu zleva resp. zprava, vezmeme za množinu P(x0)
množinu všech levých resp. pravých okolí bodu x0. Limitu
zleva resp. zprava znaˇcíme symbolem limx!x0− f(x) resp.
limx!x0+ f(x).
Názornˇe ˇreˇceno, ˇcíslo L 2 R je limitou funkce f v bodˇe x0 2 R,
jestliže se f(x) „blíží“ hodnotˇe L, kdykoli se x „blíží“ hodnotˇe x0.
Cˇ íslo L je limitou funkce f zleva (zprava), jestliže se f(x) „blíží“
k L, kdykoli se x „blíží“ k x0 zleva (zprava).
Spojitost – ˇrekneme, že funkce je spojitá v bodˇe x0 2 R, jestliže
f(x0) = limx!x0 f(x). Funkce je spojitá na otevˇreném intervalu
(a, b), jestliže je spojitá v každém bodˇe tohoto intervalu.
Názornˇe ˇreˇceno, spojitost funkce znamená, že její graf není „pˇretržený“.
Elementární funkce – tedy konstantní, mocninná, exponenciální,
logaritmická funkce a goniometrické funkce jsou spojité
v každém bodˇe svého definiˇcního oboru.
Výpocˇ ty limit
Operace s nekoneˇcny – abychom si usnadnili poˇcítání limit, definujeme
hodnoty následujících výraz° u:
Operace s nekoneˇcny
sˇ cítání násobení, dˇelení
1+1=1
a +1=1
a −1=−1
o
pro a 2 R
a ·1=1, a 2 (0,1i
a ·1=−1, a 2 h−1, 0)
a
±1 =0, a 2 R
Neurˇ cité výrazy – jsou to výrazy, jejichž hodnota není definována,
napˇríklad 0
0 , 1
1, 1−1, 0 ·1.
Aritmetika limit, x0 2 R
Podmínky: Limity vpravo musí existovat a výraz vpravo musí být
definován (nesmí jít o neurˇcitý výraz).
lim
x!x0

f(x) + g(x)

= lim
x!x0
f(x) + lim
x!x0
g(x)
lim
x!x0

f(x) − g(x)

= lim
x!x0
f(x) − lim
x!x0
g(x)
lim
x!x0

f(x) · g(x)

= lim
x!x0
f(x) · lim
x!x0
g(x)
lim
x!x0
f(x)
g(x)
=
limx!x0 f(x)
limx!x0 g(x)
Základní limity
lim
x!+1
xa =
8<
:
+1, a > 0
1, a = 0
0, a < 0
lim
x!0+
xa =
8<
:
0, a > 0
1, a = 0
+1, a < 0
lim
x!−1
ax=
8<
:
0, a > 1
1, a = 1
+1, a2(0, 1)
lim
x!+1
ax=
8<
:
+1, a > 1
1, a = 1
0, a2(0, 1)
lim
x!0+
logax=

+1, a2(0, 1)
−1, a > 1
lim
x!1
logax=

−1, a2(0, 1)
+1, a > 1
lim
x!±1
sin x – neexistuje lim
x!±1
cos x – neexistuje
Pˇríklad. Podle aritmetiky limit a díky spojitosti funkcí y = x a y = c platí
lim
x!1
(x2 + 3) = lim
x!1
x2 + lim
x!1
3 = lim
x!1
x · lim
x!1
x + 3 = 1 · 1 + 3.
Pˇríklad. V následujícím pˇríkladu nelze okamžitˇe použít vˇetu o limit ˇe podílu, protože
bychom dostali neurˇcitý výraz 1
1. Po zkrácení x2 ale už vˇeta o aritmetice limit
použít jde:
lim
x!1
2x2 + 2x − 4
x2 − 1
= lim
x!1
2 + 2
x − 4
x2
1 − 1
x2
=
limx!1(2 + 2
x − 1
x2 )
limx!1(1 − 1
x2 )
=
2
1
.
Pˇríklad. Abychom mohli použít aritmetiku limit, musíme nejprve zkrátit (x − 1):
lim
x!1
2x2 + 2x − 4
x2 − 1
= lim
x!1
2(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x + 1)
= lim
x!1
2(x + 2)
x + 1
= 3.
Složit ˇ ejší limity bývá nejjednodušší poˇcítat pomocí l’Hospitalova pravidla, které je vysvˇetleno dále."

Poznámka

Práce obsahuje tabulky a vzorce o rozsahu cca 2 stran.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29290
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse