Seminarky.cz > Studijní podklady > Skripta, učební texty > > Diferenciální a intergrální počet II

Diferenciální a intergrální počet II

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na diferenciální a integrální počet a jeho druhou část, kde popisuje extrémy funkcí, neurčitý integrál či určitý integrál.

Obsah

1.
Extrémy funkcí
2.
Neurčitý integrál
3.
Určitý integrál

Úryvek

"Extrémy funkcí
Druhá derivace – symbolem f00(x0) znaˇcíme druhou derivaci
funkce f v bodˇe x0, tj. derivaci funkce f0 v bodˇe x0.
Lokálním extrémem rozumíme lokální minimum nebo lokální maximum,
viz dále. Existuje užiteˇcný vztah mezi lokálními extrémy
funkcí a jejich derivacemi.
Lokální maximum – funkce f nabývá v bodˇe x0 lokálního maxima,
jestliže existuje okolí U(x0) bodu x0 na nˇemž je funkce f definovaná
a pro nˇež platí 8x 2 U(x0) : f(x0)  f(x).
Lokální minimum – funkce f nabývá v bodˇe x0 lokálního minima,
jestliže existuje okolí U(x0) bodu x0 na nˇemž je funkce f definovaná
a pro nˇež platí 8x 2 U(x0) : f(x0)  f(x).
Nutná podmínka extrému – pokud funkce f v bodˇe x0 nabývá
lokálního extrému, potom bud’ f0(x0) = 0 nebo f0(x0) neexistuje.
Postaˇ cující podmínky pro lokální extrém:
• Je-li f0(x0) = 0 a f00(x0) > 0, potom f nabývá v bodˇe x0
lokálního minima.
• Je-li f0(x0) = 0 a f00(x0) < 0, potom f nabývá v bodˇe x0
lokálního maxima.
• Pozor – pokud f0(x0) = 0 a f00(x0) = 0, pak v x0 nemusí
(ale m°uže) být ani lokální minimum, ani maximum.
Pˇríklad. Vyšetˇrete lokální extrémy funkce f(x) = x3 − 3x.
Spoˇcítáme první derivaci f0(x) = 3x2 − 3. Rovnice
3x2 − 3 = 0 má ˇrešení x1 = −1, x2 = 1. Podle
nutné podmínky mohou být lokální extrémy pouze v t ˇechto
bodech. Spoˇcítáme druhou derivaci: f00(x) = 6x. Tedy
f00(−1) = −6, f00(1) = 6. Podle postaˇcující podmínky
je tedy v bodˇe x = −1 lokální maximum a v bodˇe x = 1
lokální minimum.
f
−1 1 x
y
Neurcˇ itý integrál
Primitivní funkce – mˇejme dvˇe funkce F, f definované na otevˇreném
intervalu J. Jestliže pro každé x 2 J platí F0(x) = f(x),
pak funkci F nazýváme primitivní funkcí k funkci f v intervalu
J. Pokud primitivní funkce existuje, není urˇcena jednoznaˇcnˇ e. Na
otevˇreném intervalu platí, že je-li F primitivní funkce k f, pak lze
každou primitivní funkci k f na tomto intervalu zapsat ve tvaru
F + c, kde c 2 R je libovolná konstanta.
Oznaˇcení – symbolem
R
f(x) dx, x 2 J (tzv. neurˇ citý integrál),
znacˇíme libovZolnou primitivní funkci k funkci f na J. Tedy
f(x) dx = F(x) + c, x 2 J.
Symbol dx slouží k odlišení promˇenné, podle které integrujeme,
od pˇrípadných parametr° u.
Linearita integrálu – mají-li funkce f a g na intervalu J primitivní
Zfunkce, pak pro libovolné konstanty c1, c2 2 R platí: 
c1f(x) + c2g(x)

dx = c1
Z
f(x) dx + c2
Z
g(x) dx.
Z Základní primitivní funkce
k dx = kx + c, x 2 R
Z
xn dx =
xn+1
n + 1
+ c,
8>:
n 2 N: x 2 R,
n 2 Z\{−1}: x 2 (0,+1)
x 2 (−1, 0)
n 2 R\{−1}: x 2 (0,+1) Z
1
x
dx = ln |x| + c,
x 2 (−1, 0),
x 2 (0,+1) Z
ax dx =
ax
ln a
+ c, x 2 R
Z
sin x dx = −cos x + c, x 2 R
Z
cos x dx = sin x + c, x 2 R
Z
1
cos2 x
dx = tg x + ck, x2(−
2 +k, 
2 +k), k2Z
Z
1
sin2 x
dx=−cotg x + ck,x 2 (k,  + k), k 2 Z
Pˇríklad. Najdˇete primitivní funkci k funkci f(x) = sin x + 1
x + 3 p
x.
Funkce f je definovaná na intervalech (−1, 0) a (0,+1). Na t ˇechto intervalech
budeme hledat primitivní funkci. Nejprve použijeme linearitu integrálu a
potom tabulku primitivních funkcí"

Poznámka

Práce obsahuje grafy a příklady o rozsahu cca 1 strany.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29378
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse