Seminarky.cz > Seminárky/Referáty > > Metoda Savitzky-Golay

Metoda Savitzky-Golay

Kategorie: Matematika

Typ práce: Seminárky/referáty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Jedná se o práci zabývající se metodou Savitzky-Golay pro vyhlazení šumu z měření. Dále je přiloženo programové zajištění metody. Program řeší výpočet konvolučních čísel a váhových faktorů a dále zpracovává data (přílohou jsou ukázkové datové soubory) z difrakčního měření na polykrystalických materiálech (v tomto případě polykrystalický Si). Program je psán jako aplikace pod WIN95 a vyšší (kompilován na WIN XP) v C++ Builderu. Pokud bude v datových souborech zachována struktura, je program obecně použitelný pro jakákoliv data, která mají normální rozdělení pravděpodobnosti (vlastnost, kterou vyžaduje metoda Savitzky-Golay).

Obsah

1.
Úvod
2.
Pojem šumu
3.
Modifikace metody nejmenších čtverců
4.
Metoda Savitzky - Golay
5.
Odvození metody Savitzky - Golay (konvoluční metody)
6.
Modelový příklad
7.
Problematika krajních bodů statistického souboru
8.
Tabulky vah a normalizačních faktorů pro body i  0
9.
Vícenásobná konvoluce
10.
Obecně o metodě
11.
Místo závěru
12.
Poděkování
13.
Použitá literatura
14.
Příloha č.:1 - program SAV_GOL.CPP
15.
Příloha č.:2 - tabulky váhových čísel a normalizačních faktorů
16.
Příloha č.:3 - maticové odvození metody Savitzky-Golay, program řešící takto odvozenou metodu, ukázka váhových čísel a popis programu

Úryvek

“Pojem šumu:

Jak jsem již výše řekl, tato metoda slouží k odstranění šumu ze souboru naměřených hodnot. Rád bych v tomto odstavci objasnil, co to šum je. Tedy, do každého měření vstupují určité chyby. Ty lze rozdělit dle způsobu geneze na systematické a nahodilé ( někdy i náhodné). Systematické lze více méně odstranit metodikou měření. V případě chyb nahodilých je situace jiná. Ty totiž odstranit z měření nelze. Jde jen jejich výskyt do jisté míry omezit, ale měření ovlivní vždy. A právě těmto nahodilým chybám se jinak říká šum. Kromě této metody je mnoho dalších, které lze s úspěchem užít při eliminaci šumu. Za všechny bych zde uvedl transformaci do fourierovského prostoru a po jistých úpravách zpět.

Modifikace metody nejmenších čtverců:

Při výpočtu se budeme omezovat jen na jistý interval, tak jak je popsáno v úvodu. Tento interval musí mít lichý počet bodů. Střední bod tohoto intervalu se nazývá centrálním bodem. Ten je na obrázku č.:1 (obrázek je jen ilustrační) označen kroužkem.

obr. č.: 1

Nechť je aproximující funkce, kterou můžeme proložit interval, tohoto tvaru: . Jedná se tedy o polynom stupně n-tého. Nic nám nebrání v tom, abychom spočítali koeficienty této funkce a0, a1, a2, ..., an klasickou MNČ pomocí řešení systému normálních rovnic. Do takto definované funkce (x) můžeme dosadit centrální bod x jako argument funkce a dostáváme tak hodnotu funkce (x) daného stupně ve středním (centrálním) bodě. Dále můžeme postupovat, podobně, jako v případě klouzavého průměru, celým souborem měření tak, že vždy interval posuneme o jedeno měření (bod). Tedy odstraněním bodu vlevo a přidáním dalšího vpravo od intervalu. To znamená, že pro každou skupinu (každý interval) bodů dostaneme jiné numerické hodnoty koeficientů a0, a1, a2, ..., an. Rozdíl proti klasické MNČ, tak jak je nejčastěji používána při analýze statistického souboru, je ten, že nehledáme koeficienty aproximačního polynomu proto, abychom pak proložili celým souborem tuto funkci, ale proto, že chceme nahradit hodnotu v centrálním bodě nejlepší hodnotou, kterou nám může, za zvoleného stupně polynomu, dát MNČ. V tom spočívá výše zmíněná modifikace MNČ. Takto popsaný postup je bezesporu zdlouhavý, má-li se dělat pro celý statistický soubor.
Metoda Savitzky - Golay:
Proto páni Savitzky a Golay přišli s metodou, která je jednodušší a přitom nám dává stejné výsledky výpočtu hodnoty v centrálním bodě, jako MNČ modifikovaná výše popsaným způsobem. Tato metoda je založena na odvození a výpočtu vah pro jednotlivé body výběrového souboru (intervalu) z metody nejmenších čtverců. Těmi se pak příslušné hodnoty v bodech intervalu násobí a sečtou a nakonec vydělí normalizačním faktorem. Tímto postupem se vypočte opravená hodnota v centrálním bodě intervalu. Jedná se o obdobu váženého průměru. A, jak již bylo v úvodu řečeno, lze touto metodou počítat i numerické hodnoty obecně p-té derivace v centrálním bodě intervalu. Pro každý řád derivace musíme počítat s jinými váhovými čísly. Těm se jinak říká konvoluční čísla. Tato konvoluční čísla včetně normalizačních faktorů jsou uvedeny v tabulkách přiložených k této práci. To znamená, že uživatel této metody se již nemusí příliš zabývat teorií a odvozením, ani sáhodlouhými výpočty, ale prostě si ke zvolenému stupni aproximačního polynomu, zvolenému řádu derivace a zvolenému intervalu hodnot najde tato váhová (konvoluční) čísla a normalizační faktor a dosadí tato do vztahu, který je odvozen níže.
Odvození metody Savitzky - Golay (konvoluční metody):
Pro odvození této metody budiž pojmem soubor rozuměno výběrový soubor měření nebo také výše zmíněný interval hodnot. Dále bych chtěl podotknout, že použiji stejné symboliky, jakou použili pánové Savitzky a Golay.
Tedy, mějme soubor o 2m+1 po sobě jdoucích hodnotách a dále polynom stupně n < 2m+1. Polynom má tedy tvar:
[1]

Tento polynom, rozepsán do jednotlivých členů pak vypadá takto:
[2]

Derivace tohoto polynomu mají tvar:
[3]
Uvědomme si, že v uvažovaném souřadném systému nabývá i hodnoty od -m do +m a tedy, jedná-li se o centrální bod 2m+1 hodnot, je hodnota i rovna nule (i = 0). Hodnota s-té derivace v centrálním bodě potom bude:
[4]

Poznámka

Obsahuje textový soubor, textové přílohy a vlastní aplikaci.
Veškeré rovnice jsou vloženy ve formě grafiky, také proto nejsou v ukázce přítomny.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera14091
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse