Mnohočleny

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na mnohočleny. Popisuje různé operace s mnohočleny jako například rozklady mnohočlenů.

Obsah

1.
Mnohočleny
2.
Rozklady mnohočlenů

Úryvek

"Mnohocˇ leny
Mnohoˇclen (polynom) n-tého stupnˇe je souˇcet
anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
kde ai jsou koeficienty mnohoˇclenu (jsou to reálná ˇcísla), x je
promˇenná a n je pˇrirozené ˇcíslo, které nazýváme stupnˇem mnoho
ˇclenu. Koeficient a0 se nazývá absolutní ˇclen mnohoˇclenu.
Pˇríklad. 4x4+4x3+2x+5 je polynom 4. stupnˇ e, ˇclen s x2 chybí,
nebot’ a2 = 0. Nepíšeme 4x4 + 3x3 + 0x2 + 2x + 5.
Mnohoˇcleny mohou být uspoˇrádány
a) sestupnˇ e: anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
b) vzestupnˇ e: a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + anxn.
Rovnost mnohoˇclen °u – dva mnohoˇcleny jsou si rovny, pokud se
sobˇe rovnají všechny koeficienty odpovídajících si ˇclen°u obou
mnohoˇclen°u (tj. ˇclen°u obsahujících stejné mocniny promˇenných).
Operace (+,−, ·,÷) s mnohoˇcleny
Sˇ cítání dvou mnohoˇclen°u provádíme tak, že seˇcteme koeficienty
u ˇclen°u se stejnými mocninami:
(8x3 + 2x2 + x + 5) + (3x2 + 12) = 8x3 + (2 + 3)x2+
+x + (5 + 12) = 8x3 + 5x2 + x + 17.
Odˇ cítání se provádí jako sˇcítání, ale nejdˇríve musíme zmˇ enit
znaménka v závorce pˇred kterou je minus na opaˇcná:
(8x3 + 2x2 + x + 5) − (3x2 + 12) =
= 8x3 +2x2 +x+5−3x2 −12 = 8x3 +(2−3)x2 +x+
+(5 − 12) = 8x3 − x2 + x − 7.
Násobení – zp°usob každý s každým – násobíme každý koeficient
s každým koeficientem a pˇritom sˇcítáme mocniny – nejefektivn
ˇ ejší a nejpˇrehlednˇ ejší je postupovat tak, že vezmeme první
ˇclen druhého mnohoˇclenu a vynásobíme jím každý ˇclen prvního
mnohoˇclenu, pak druhý atd.:
5x2·x=5x3
2x·x=2x2
1·x=x
5x2·2=10x2
2x·2=4x
1·2=2
(5x2+2x+1)·(x+2) = 5x3+2x2+x+10x2+4x+2 =
= 5x3 + 12x2 + 5x + 2.
Výraz za druhým rovnítkem jsme získali tak, že jsme upravili se-
ˇctením výraz, který vznikl násobením – jak se sˇcítají mnohoˇcleny
je uvedeno výše.
Dˇelení mnohoˇclenu mnohoˇclenem je složit ˇ ejší. Známe dva
druhy: dˇ elení beze zbytku a dˇ elení se zbytkem.
Postup:
1. Dˇelíme první ˇclen (ten, který má nejvyšší mocninu) dˇ elence
prvním ˇclenem dˇ elitele (opˇ et ten, který má nejvyšší
mocninu).
2. Vynásobíme výsledek dˇ elení dˇ elitelem a polynom, který
tímto násobením vznikne, odeˇcteme od dˇelence a vzniká
nový polynom, který pˇredstavuje dˇelence pro další krok.
3. Kroky 1 a 2 opakujeme tak dlouho, dokud není stupeˇn dˇ elence
menší než stupeˇn dˇ elitele.
Pˇríklad. Dˇ elení se zbytkem:
(3x3+7x2 + 4x − 5): (x+ 3) = 3x2−2x +10, zbytek − 35
−(3x3+9x2)
−2x2 + 4x − 5
−(−2x2 − 6x)
10x − 5
−(10x +30)
−35
1. Dˇelíme (3x3) : x = 3x2.
2. Násobíme
3x2(x + 3) = 3x3 + 9x2.
3. Odeˇcítáme 3x3 + 9x2 od dˇ elence
a vzniká nový dˇelenec.
4. Dˇelíme (−2x2) : x = −2x.
5. Násobíme
−2x(x + 3) = −2x2 − 6x
a odeˇcítáme od dˇelence, vzniká
nový dˇelenec.
6. Dˇelíme (10x) : x = 10.
7. Násobíme
10(x+3) = 10x+30 a odeˇcítáme
od dˇelence, vzniká zbytek
−35.
POZOR! Nezapomeˇn na podmínky, v našem pˇrípadˇe nesmí být
x + 3 = 0, tedy x 6= −3. Nelze dˇ elit nulou.
Poznámka. Postup se to zdá být složitý, ale je naprosto shodný
s tím, který se vyuˇcuje na základní škole pˇri dˇ elení dvou ˇcísel!
Dˇ elení dvou mnohoˇclen°u beze zbytku je stejné jako se zbytkem
s tím rozdílem, že zbytek vyjde roven 0 (ve výše uvedeném pˇríkladu
je zbytek roven −35).
Mnohoˇclen dˇelíme jednoˇclenem tak, že jednoˇclenem dˇelíme
každý ˇclen mnohoˇclenu.
Pˇríklad. (12by − 9cy) : 3y = 4b − 3c, kde y 6= 0."

Poznámka

Práce obsahuje příklady a tabulky. Rozsah čistého textu cca 1 strana.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29249
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse