Nerovnice

Kategorie: Profi práce, Matematika

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na nerovnice. Nejprve rozebírá základní pojmy jako jsou kořeny a zkouška. Poté se zabývá lineárními nerovnicemi, lineárními nerovnicemi s absolutní hodnotou a nakonec soustavami lineárních nerovnic a kvadratickými nerovnicemi.

Obsah

1.
Základní pojmy
2.
Lineární nerovnice
3.
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou
4.
Lineární nerovnice se dvěma neznámými
5.
Soustavy lineárních nerovnic
6.
Kvadratické nerovnice

Úryvek

"Základní pojmy
Mˇejme dva výrazy V1(x) a V2(x) s neznámou x. Máme urˇcit, pro
jaké x platí V1(x) < V2(x) resp. V1(x)  V2(x). Tuto úlohu
nazýváme nerovnicí s neznámou x.
Koˇreny nerovnice (ta ˇcísla, která spl ˇ nují danou nerovnost) hledáme
pomocí ekvivalentních úprav.
Ekvivalentní úpravy
(D je definiˇcní obor nerovnice)
Co se stane s
nerovnicí 4x > 3
Vzájemná výmˇena stran nerovnice se
souˇcasnou zmˇenou znaku nerovnosti
v opaˇcný.
3 < 4x
Pˇriˇctení nebo odeˇctení výrazu, který je
definován na D, k obˇema stranám nerovnice,
znak nerovnosti se nemˇ ení.
4x + 2 > 3 + 2
Vynásobení nebo vydˇ elení obou stran
nerovnosti kladným výrazem definovaným
na D, znak nerovnosti se nemˇ ení.
4x · 4>3 · 4
(4x) : 2>3 : 2
Vynásobení nebo vydˇ elení obou stran
nerovnosti záporným výrazem definovaným
na D, znak nerovnosti se obrátí.
4x · (−5)
p
3,
Zkouška se pˇri použití ekvivalentních úprav provádˇ et nemusí, m° užeme
však pomocí ní ovˇeˇrit správnost výsledku. U nerovnic dochází
ˇcasto k tomu, že množina koˇren°u obsahuje nekoneˇcnˇe
mnoho hodnot, což neumožˇnuje provést úplnou zkoušku (nelze
dosadit nekoneˇcnˇe mnoho ˇcísel).V tom pˇrípadˇe provádíme alespo
ˇn hrubé ovˇeˇrení, tj. dosadíme nˇekterá z ˇcísel patˇrící do získané
množiny koˇren°u (nerovnost musí platit) a i nˇekterá ˇcísla
mimo množinu koˇren°u (nerovnost nesmí platit).
Lineární nerovnice
Lineární nerovnicí s neznámou x 2 R nazýváme každou nerovnici
tvaru ax + b > 0 resp. ax + b  0, kde a, b jsou libovolná
reálná ˇcísla.
Prˇíklad. Rˇ ešme v R nerovnici 4 − 3x < 7(x + 2).
Ekvivalentními úpravami pˇrevedeme nerovnici na tvar, ze kterého lze snadno
získat množinu všech koˇren° u.
4 − 3x < 7x + 14 roznásobíme závorku
−3x < 7x + 10 od obou stran odeˇcteme 4
−10x < 10 vydˇelíme −10 (pozor na otoˇcení nerovnosti)
x > −1
Výsledek: K = (−1,+1).
Nerovnice v souˇcinovém nebo podílovém tvaru ˇrešíme metodou
interval ° u:
Prˇíklad. Rˇ ešme v R nerovnici 2x−1
x−2
 1 pˇrevedením na podílový tvar.
Nejdˇríve urˇcíme podmínky, zˇrejmˇe x 6= 2. Rovnici anulujeme a upravíme
2x − 1
x − 2
− 1  0 ,
2x − 1 − x + 2
x − 2
 0 ,
x + 1
x − 2
 0.
Nyní se ptáme, kdy je podíl dvou ˇcísel kladný. Podíl dvou ˇcísel je kladný právˇe
tehdy, když je ˇcitatel i jmenovatel souˇcasnˇe kladný nebo záporný. Abychom vyšet
ˇrili kladnost ˇci zápornost obou ˇcinitel ° u, použijeme metodu interval ° u.
1. Zjistíme nulové body. x + 1 = 0 , x = −1, x − 2 = 0 , x = 2.
2. Reálnou osu rozdˇelíme na intervaly a diskutujeme kladnost nebo zápornost
podílu:
−1 2
x
I1 = (−1,−1i I2 = h−1, 2i I3 = h2,+1)
x + 1  0 . . . . . − x + 1  0. . . . . . + x + 1  0. . . . . . +
x − 2  0 . . . . . − x − 2  0 . . . . . − x − 2  0 . . . . . +
jejich podíl . . . . . . . + jejich podíl . . . . . . . − jejich podíl . . . . . . . +
3. Ze schématu je zˇrejmé, že podíl je kladný pouze v intervalech I1 a I3.
Rˇ ešením je tedy sjednocení teˇchto intervalu° , musíme však dát pozor na
podmínku x 6= 2. Rˇ ešením je tedy množina I = I1 [ I2 \ {2} =
= (−1,−1i [ (2,+1).
Lineární nerovnice s abs. hodnotou
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou se ˇreší stejn ˇe jako rovnice s absolutní
hodnotou – pomocí metody interval ° u.
Prˇíklad. Rˇ ešme v R nerovnici |2x + 1| − |3 − x| < x.
1. Nejprve najdeme nulové body.
2x + 1 = 0, tedy x = −1
2 ,
3 − x = 0, tedy x = 3."

Poznámka

Práce obsahuje grafy a tabulky o rozsahu cca 1 strany.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29272
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse