Posloupnosti

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na posloupnosti. Nejprve popisuje základní pojmy a poté vysvětluje aritmetickou a geometrickou posloupnost.

Obsah

1.
Základní pojmy
2.
Aritmetická a geometrická posloupnost

Úryvek

"Základní pojmy
Posloupnost je funkce, jejímž definiˇcním oborem je podmnožina
pˇrirozených ˇcísel N. Funkˇcní hodnota této funkce pˇriˇrazená každému
pˇrirozenému ˇcíslu (oznaˇcme ho n) se nazývá n-tý ˇclen posloupnosti.
Známe dva základní typy posloupností:
- koneˇcná – definiˇcní obor je množina prvních k pˇrirozených
ˇcísel, zapisujeme:
a1, a2, . . . , ak nebo zkrácenˇe k
n=1
- nekoneˇcná – definiˇcním oborem je celá množina pˇrirozených
ˇcísel N, zapisujeme
a1, a2, . . . , an, . . . nebo zkrácenˇe 1
n=1
Grafem posloupnosti je množina
navzájem izolovaných
bod°u [n, an]. Napˇríklad
{1, 2, 4, 8, 16, . . .} je nekone
ˇcná posloupnost, v níž
a1 = 1, a2 = 2, . . . Graf
této posloupnosti je vpravo. 0 1 2 3 4 n
1 2
4
8
an
a1
a2
a3
a4
(Jsou zde znázornˇeny pouze první ˇctyˇri ˇcleny.)
Zadání posloupnosti
a) výˇctem ˇclen °u nebo graficky,
b) vzorcem pro n-tý ˇclen – libovolný ˇclen posloupnosti získáme
dosazením pˇríslušného n do vzorce,
pˇr. an = 5n − 2, pak a1 = 5 · 1 − 2 = 3, a2 = 5 · 2 − 2 = 8, . . .
c) rekurentnˇe – zadán první (nebo nˇekolik prvních) ˇclen posloupnosti
a vzorec pro výpoˇcet dalších ˇclen°u pomocí ˇclen°u
pˇredcházejících.
pˇr. a1 = 2, a2 = 3, an = 2an−1 + an−2, pak a3 = 2.3 + 2 = 8,
a4 = 2.8 + 3 = 19, . . .
Vlastnosti posloupnosti 1
n=1 – následující tabulka obsahuje
definice základních vlastností posloupnosti:
Jak posloupnost
nazýváme Jaké má vlastnosti
rostoucí 8n 2 N : an+1 > an
klesající 8n 2 N : an+1 < an
neklesající 8n 2 N : an+1  an
nerostoucí 8n 2 N : an+1  an
Jak posloupnost
nazýváme Jaké má vlastnosti
omezená shora
Existuje takové h 2 R, že pro každé n 2 N je
an  h.
Cˇ íslo h je horní hranice = každý cˇlen
posloupnosti je tedy menší nebo roven h.
omezená zdola
Existuje takové d 2 R, že pro každé n 2 N je
an  d.
Cˇ íslo d je dolní hranice = každý cˇlen
posloupnosti je tedy vˇ etší nebo roven d.
omezená Jestliže je omezená shora a zdola zároveˇ n.
Existuje horní hranice h i dolní hranice d.
Pˇríklad.
n
n−1
n+2
o1
n=1
je posloupnost zdola i shora omezená
(každý ˇclen posloupnosti je vˇ etší nebo roven 0 a menší než 1)
a rostoucí, nebot’
an+1−an =
n
n + 3

n − 1
n + 2
=
n2 + 2n − n2 − 3n + n + 3
(n + 2)(n + 3)
=
3
(n + 2)(n + 3)
> 0 ) an+1 > an."

Poznámka

Práce obsahuje tabulky a obrazce o rozsahu cca 2 stran.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29286
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse