Řady a kombinatorika

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na řady a kombinatoriku. Nejprve popisuje nekonečné řady, variace, permutace bez opakování. Nakonec popisuje kombinace a pak binomickou větu.

Obsah

1.
Nekonečné řady
2.
Variace, permutace bez opakování
3.
Variace a permutace s opakováním
4.
Kombinace
5.
Binomická věta

Úryvek

"Nekonecˇné rˇady
Je-li 1
n=1 posloupnost, která má ˇcleny a1, a2, a3, a4 . . ., pak
výraz
a1 + a2 + . . . + an + . . . =
1X
n=1
an
nazýváme nekonecˇnou rˇadou. Cˇ íslu°m a1, a2, . . . an, . . . se
ˇríká ˇcleny nekoneˇcné ˇrady.
Pˇríklad.
1P
n=1
(2n − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . .
Souˇcet nekoneˇcné ˇrady – pro nekoneˇcnou ˇradu
1X
n=1
an = a1 + a2 + . . . + an + . . .
vytvoˇríme posloupnost 1
n=1, jejímiž ˇcleny jsou
s1 = a1
s2 = a1 + a2
...
sn = a1 + a2 + . . . + an
Tuto posloupnost 1
n=1 nazýváme posloupností ˇcásteˇ cných
souˇ ct °u nekoneˇcné ˇrady a sn je n-tý ˇcásteˇcný souˇcet
ˇrady, který ˇcasto zapisujeme ve tvaru sn =
Pn
k=1 ak. Jestliže
existuje koneˇcná limita ˇcásteˇcných souˇct °u posloupnosti
lim
n!1
sn = s,
pak tuto limitu nazýváme souˇctem nekoneˇcné ˇrady a ˇríkáme, že
nekoneˇcná ˇrada je konvergentní. Jestliže posloupnost ˇcásteˇcných
souˇct °u nemá limitu, pak ˇríkáme, že je ˇrada divergentní. To,
že je ˇrada konvergentní a má souˇcet s zapisujeme
P1
n=1 an =
= s. (Tímto symbolem znaˇcíme v pˇrípadˇe konvergentnosti ˇrady
nejen ji samotnou, ale též její souˇcet).
Základní vlastnosti ˇrad
Každá aritmetická ˇrada
a1 + (a1 + d) + . . . + [a1 + (n − 1)d] + . . . je divergentní.
Geometrická ˇrada a1 + a1q + . . . + a1qn−1 + . . . je
konvergentní divergentní
je-li |q| < 1 a platí s = a1
1−q je-li |q|  1
Harmonická ˇrada
P1
n=1
1
n je divergentní.
Variace, permutace bez opakování
Variace k-té tˇrídy z n prvk °u bez opakování (1  k  n) je
každá uspoˇrádaná k-tice (záleží na poˇradí) sestavená z t ˇechto n
prvk°u tak, že všechny prvky v ní jsou r °uzné (tj. neopakují se).
Permutace bez opakování je variace n-té tˇrídy z n prvk°u bez opakování,
tj. každá uspoˇrádaná n-tice (záleží na poˇradí) sestavená
z t ˇechto n prvk°u tak, že se prvky v ní neopakují.
Pro poˇcet Vk(n) variací k-té tˇrídy z n prvk°u bez opakování platí
Vk(n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1),
což zkrácenˇe zapisujeme
Vk(n) =
n!
(n − k)!
.
Poˇcet P(n) permutací n prvk°u bez opakování je:
P(n) = n!
Co je to n! ? Cˇ teme n faktoriál a definujeme
n! = 1 · 2 · 3 · 4 . . . (n − 2) · (n − 1) · n.
Dále dodefinováváme 0! = 1.
Pˇr. 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320"

Poznámka

Práce obsahuje tabulky o rozsahu cca 2 stran.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 45 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 38 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány ČSOB, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 35 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 630 kreditů (=35Kč).
  4. SMS platba (Slovensko) - 1,70€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29287
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 1,70€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse