Seminarky.cz > Seminárky/Referáty > > Vztahy mezi goniometrickými funkcemi a jejich využití při řešení rovnic a nerovnic

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi a jejich využití při řešení rovnic a nerovnic

Kategorie: Matematika

Typ práce: Seminárky/referáty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Text obsahuje souhrn základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi, ze kterých pak autor dále odvozuje několik netriviálních poznatků, které jsou pak použity při řešení složitějších problémů. V textu ukazuje, jak se dají rychle odvodit základní ale i pokročilé vztahy mezi goniometrickými funkcemi a jak se dají tyto vztahy aplikovat na celou řadu problémů, jako jsou goniometrické rovnice, u kterých bychom se bez nich vzhledem k zadání asi neobešli, ale i hlavně na problémy, u kterých není využití goniometrických funkcí na první pohled vůbec intuitivní, avšak přináší nečekaně zajímavé výsledky.

Obsah

0.
Úvod
1.
Teorie
1.1.
Definice goniometrických funkcí
1.2.
Užitečné vlastnosti
1.3.
Základní vztahy
2.
Využití při řešení rovnic
2.1.
Triviální příklady
2.2.
Lehké příklady
2.3.
Středně těžké příklady
3.
Využiti při řešení nerovnic
3.1.
Používané substituce při řešení nerovnosti
3.2.
Úprava substituci
3.3.
Aplikace substitucí – těžší příklady
4.
Závěr
5.
Použité materiály


Úryvek

„ 3.3. Aplikace substitucí – těžší příklady
Ačkoliv to na první pohled nemusí být patrné, mají tyto goniometrické substituce poměrně široké využití u řady poměrně obtížných příkladů, které by se bez nich řešily pravděpodobně velmi nepříjemně. Při správném použití, které většinou není těžké odhadnout, s nimi lze docílit v pravdě překvapivých výsledků. Pro lepší pochopení předchozích slov vřele doporučuji rozmyslet si řešení příkladů nejdříve samostatně (nejlépe bez substituci) a pak si pročíst vzorové řešení.
Pro motivaci začnu s příkladem z českého výběrového soustředěni na IMO (z 55. ročníku MO).
Příklad 1
Nechť x, y, z jsou kladná reálna čísla, pro něž platí x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1. Dokažte, že pak platí:
2(x + y + z) ≤ 3.
řešení
Povšimněme si, že z podmínky plyne, že x,y i z jsou čísla menši než jedna, tedy je můžeme nahradit siny nějakých uhlů, které jsou vzhledem k podmínce a předchozím informacím poloviny uhlů trojúhelníka. Tedy stačí ukázat, že pro siny polovičních úhlů jakéhokoliv trojúhelníka platí

(vzorec)

Protože je sinus na intervalu 0 až _H__ konkávní, jistě platí (podle Jensenovy nerovnosti)

(vzorce)

Tedy levou stranu nerovnosti lze odhadnout jako 3.2(1/2) = 3, z čehož nerovnost evidentně platí.“

Poznámka

Práce ve formátu AdobeAcrobat (*.pdf).

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera18369
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse