1.

Úvod

2.	Pojem šumu

3.	Modifikace metody nejmenších čtverců

4.	Metoda Savitzky - Golay

5.	Odvození metody Savitzky - Golay (konvoluční metody)

6.	Modelový příklad

7.	Problematika krajních bodů statistického souboru

8.	Tabulky vah a normalizačních faktorů pro body i  0

9.	Vícenásobná konvoluce

10.	Obecně o metodě

11.	Místo závěru

12.	Poděkování

13.	Použitá literatura

14.	Příloha č.:1 - program SAV_GOL.CPP

15.	Příloha č.:2 - tabulky váhových čísel a normalizačních faktorů

16.	Příloha č.:3 - maticové odvození metody Savitzky-Golay, program řešící takto odvozenou metodu, ukázka váhových čísel a popis programu

“Pojem šumu:

Jak jsem již výše řekl, tato metoda slouží k odstranění šumu ze souboru naměřených hodnot. Rád bych v tomto odstavci objasnil, co to šum je. Tedy, do každého měření vstupují určité chyby. Ty lze rozdělit dle způsobu geneze na systematické a nahodilé ( někdy i náhodné). Systematické lze více méně odstranit metodikou měření. V případě chyb nahodilých je situace jiná. Ty totiž odstranit z měření nelze. Jde jen jejich výskyt do jisté míry omezit, ale měření ovlivní vždy. A právě těmto nahodilým chybám se jinak říká šum. Kromě této metody je mnoho dalších, které lze s úspěchem užít při eliminaci šumu. Za všechny bych zde uvedl transformaci do fourierovského prostoru a po jistých úpravách zpět.

Modifikace metody nejmenších čtverců:

Při výpočtu se budeme omezovat jen na jistý interval, tak jak je popsáno v úvodu. Tento interval musí mít lichý počet bodů. Střední bod tohoto intervalu se nazývá centrálním bodem. Ten je na obrázku č.:1 (obrázek je jen ilustrační) označen kroužkem.

obr. č.: 1

Nechť je aproximující funkce, kterou můžeme proložit interval, tohoto tvaru: . Jedná se tedy o polynom stupně n-tého. Nic nám nebrání v tom, abychom spočítali koeficienty této funkce a0, a1, a2, ..., an klasickou MNČ pomocí řešení systému normálních rovnic. Do takto definované funkce (x) můžeme dosadit centrální bod x jako argument funkce a dostáváme tak hodnotu funkce (x) daného stupně ve středním (centrálním) bodě. Dále můžeme postupovat, podobně, jako v případě klouzavého průměru, celým souborem měření tak, že vždy interval posuneme o jedeno měření (bod). Tedy odstraněním bodu vlevo a přidáním dalšího vpravo od intervalu. To znamená, že pro každou skupinu (každý interval) bodů dostaneme jiné numerické hodnoty koeficientů a0, a1, a2, ..., an. Rozdíl proti klasické MNČ, tak jak je nejčastěji používána při analýze statistického souboru, je ten, že nehledáme koeficienty aproximačního polynomu proto, abychom pak proložili celým souborem tuto funkci, ale proto, že chceme nahradit hodnotu v centrálním bodě nejlepší hodnotou, kterou nám může, za zvoleného stupně polynomu, dát MNČ. V tom spočívá výše zmíněná modifikace MNČ. Takto popsaný postup je bezesporu zdlouhavý, má-li se dělat pro celý statistický soubor.
Metoda Savitzky - Golay:
Proto páni Savitzky a Golay přišli s metodou, která je jednodušší a přitom nám dává stejné výsledky výpočtu hodnoty v centrálním bodě, jako MNČ modifikovaná výše popsaným způsobem. Tato metoda je založena na odvození a výpočtu vah pro jednotlivé body výběrového souboru (intervalu) z metody nejmenších čtverců. Těmi se pak příslušné hodnoty v bodech intervalu násobí a sečtou a nakonec vydělí normalizačním faktorem. Tímto postupem se vypočte opravená hodnota v centrálním bodě intervalu. Jedná se o obdobu váženého průměru. A, jak již bylo v úvodu řečeno, lze touto metodou počítat i numerické hodnoty obecně p-té derivace v centrálním bodě intervalu. Pro každý řád derivace musíme počítat s jinými váhovými čísly. Těm se jinak říká konvoluční čísla. Tato konvoluční čísla včetně normalizačních faktorů jsou uvedeny v tabulkách přiložených k této práci. To znamená, že uživatel této metody se již nemusí příliš zabývat teorií a odvozením, ani sáhodlouhými výpočty, ale prostě si ke zvolenému stupni aproximačního polynomu, zvolenému řádu derivace a zvolenému intervalu hodnot najde tato váhová (konvoluční) čísla a normalizační faktor a dosadí tato do vztahu, který je odvozen níže.
Odvození metody Savitzky - Golay (konvoluční metody):
Pro odvození této metody budiž pojmem soubor rozuměno výběrový soubor měření nebo také výše zmíněný interval hodnot. Dále bych chtěl podotknout, že použiji stejné symboliky, jakou použili pánové Savitzky a Golay.
Tedy, mějme soubor o 2m+1 po sobě jdoucích hodnotách a dále polynom stupně n < 2m+1. Polynom má tedy tvar:
[1]

Tento polynom, rozepsán do jednotlivých členů pak vypadá takto:
[2]

Derivace tohoto polynomu mají tvar:
[3]
Uvědomme si, že v uvažovaném souřadném systému nabývá i hodnoty od -m do +m a tedy, jedná-li se o centrální bod 2m+1 hodnot, je hodnota i rovna nule (i = 0). Hodnota s-té derivace v centrálním bodě potom bude:
[4]

Obsahuje textový soubor, textové přílohy a vlastní aplikaci.
Veškeré rovnice jsou vloženy ve formě grafiky, také proto nejsou v ukázce přítomny.