1.	Příklady na klasickou pravděpodobnost

1.1.	Student se ke zkoušce připravil na 15 otázek z 20 zadaných. Při zkoušce si vybere náhodně dvě otázky. Jaké jsou pravděpodobnosti, že ve vybraných otázkách bude právě jedna, aspoň jedna otázka, na kterou se připravil?

1.2.	Jaké jsou pravděpodobnosti, že při hodu 2 homogenními hracími kostkami padne na kostkách a) součet právě 8, b) součin právě 8, c) součet čísel je větší než jejich součin?

1.3.

Do výtahu tříposchoďového domu vejdou v přízemí tři lidé. Každý z nich může se stejnou pravděpodobností vystoupit v libovolném poschodí, počínaje prvním. Jaké jsou pravděpodobnosti toho, že a) všichni vystoupí ve druhém poschodí, b) všichni vystoupí ve stejném poschodí, c) každý vystoupí v jiném poschodí, d) právě dva lidé vystoupí ve stejném poschodí?

2.	Příklady na podmíněnou pravděpodobnost

2.1.

Používáme jistý přístroj. Pravděpodobnost jeho poruchy při použití je 0,2 a po každé poruše se zvyšuje o 0,1. Pokud v některém z použití porucha nenastane, pak pravděpodobnost poruchy přístroje se nemění. Po první poruše přístroj opravíme, po druhé vyřadíme. Přístroj používáme nejvýše třikrát. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj byl použit aspoň dvakrát bez poruchy?

2.2.

Přístroj používáme nejvýše třikrát. Má-li přístroj v některém použití poruchu, pak jej opravíme, má-li v některém z dalších použití poruchu, pak jej vyřadíme. Pravděpodobnost poruchy přístroje je při každém použití rovna 0,2 a není ovlivněna výsledkem předchozích použití. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj se použije bezporuchově aspoň dvakrát?

2.3.	K výstupní kontrole přicházejí výrobky, z nichž je 13 % zmetků. Výstupní kontrola propustí 1 % zmetků a vyřadí 2 % dobrých výrobků jako zmetky. Kolik procent výrobků kontrola vyřadí? Kolik procent zmetků je v nevyřazených výrobcích?

2.4.

V autobazaru je z aut určitého typu 6 % nespolehlivých. K posouzení toho, zda auto je spolehlivé, si vyžádáme znalce, který nespolehlivé auto označí správně v 90 % odhadů. Spolehlivé auto označí za spolehlivé v 80 % odhadů. Kolik procent aut označí znalec za nespolehlivé? Kolik procent z aut, která označil znalec za spolehlivé, je nespolehlivých?

3.	Příklady na náhodné veličiny diskrétního typu

3.1.	Střelec má čtyři náboje. Střílí na cíl, dokud jej nezasáhne nebo nespotřebuje všechny náboje. Pravděpodobnost zásahu cíle je v každém výstřelu stejná a je rovna 0,6. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku počtu zbylých nábojů.

3.2.

Polotovar prochází při výrobě čtyřmi operacemi. Pravděpodobnosti, že se při jednotlivých operacích vyrobí zmetek jsou 0,2; 0,03; 0,01 a 0,005. Pokud se při prvních třech operacích vyrobí zmetek, pak se polotovar vyřadí. Ceny jednotlivých operací jsou 3, 2, 6 a 5 Kč. Určete střední hodnotu a rozptyl nákladů výroby na jeden kus polotovaru.

3.3.

V přístroji jsou tři prvky zapojeny v sérii. Pravděpodobnosti jejich poruch během činnosti přístroje jsou 0,06; 0,04 a 0,02. Jestliže se některý prvek porouchá, pak se určitě porouchají všechny prvky za ním. Porouchaný prvek se na místě opraví a přístroj se dále používá. Jaká je střední hodnota doby opravy porouchaného přístroje, jestliže doby oprav jednotlivých prvků jsou 25, 30 a 10 minut?

4.	Příklady na důležitá diskrétní rozdělení

4.1.	Do půjčovny aut přijde za den průměrně 3,8 zákazníků. Určete pravděpodobnost, že během dne přijdou aspoň tři zákazníci.

4.2.	V jednom metrickém centu skloviny bývají průměrně tři kamínky. Ze skloviny se dělají lahve o váze 2 kg. Jestliže je ve stěně láhve aspoň jeden kamínek, je vadná. Odhadněte procento vadných lahví.

4.3.	Tramvaj jezdí po trati, na níž jsou tři křižovatky řízené světly. Každou křižovatkou buď projede bez zastavení s pravděpodobností 2/3 nebo na ní zůstane stát s pravděpodobností 1/3. Určete střední hodnotu počtu křižovatek, které tramvaj projede bez zastavení.

5.	Příklady na náhodné vektory diskrétního typu

5.1.	Hodnoty náhodného vektoru (X, Y) diskrétního typu a hodnoty jeho simultánní pravděpodobnostní funkce jsou v tabulce. Vypočtěte střední hodnoty E(X), E(Y) náhodných veličin X a Y a koeficient korelace ρ(X, Y). Určete pravděpodobnost P (X ≥ 3│Y = 2).

5.2.	Hráč hází mincí tak dlouho, dokud nepadne líc, ale nejvýše čtyřikrát. Padne-li líc v l-tém hodu, pak získá výhru l Kč. Určete charakteristiky E(X), E(Y) a ρ(X,Y) pro náhodný vektor (X,Y), kde X značí počet hodů a Y velikost výhry.

"SEMESTRÁLNÍ PRÁCE

Příklady na klasickou pravděpodobnost

Student se ke zkoušce připravil na 15 otázek z 20 zadaných. Při zkoušce si vybere náhodně dvě otázky. Jaké jsou pravděpodobnosti, že ve vybraných otázkách bude právě jedna, aspoň jedna otázka, na kterou se připravil?
Pokus: Zjištění, zda si student vytáhne otázky, na které se připravil.

N = 20
M = 15
N–M=5
n=2

Jev Ak = mezi vybranými otázkami je k otázek, které student umí; k = 0, 1, 2


[tabulka]


Jev B = alespoň jedna otázka, kterou student umí

P(B) = P(A1) + P(A2) = 0,974

Interpretace:
Budeme-li pokus vícekrát opakovat, pak asi v 39,5 % pokusů si student vytáhne právě
jednu otázku, kterou umí; asi v 94,7 % pokusů si vytáhne alespoň jednu otázku, kterou umí.


Jaké jsou pravděpodobnosti, že při hodu 2 homogenními hracími kostkami padne na kostkách
a) součet právě 8,
b) součin právě 8,
c) součet čísel je větší než jejich součin?

Pokus: Zjištění, kolik padne při hodu dvěmi homogenními kostkami

V2´(6) = 62 = 36 = .
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26 součet 8
31 32 33 34 35 36 součin 8
41 42 43 44 45 46 součet čísel je větší než jejich součin
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66

Jev A = součet právě 8
Jev B= součin právě 8
Jev C = součet čísel je větší než jejich součin


[výpočty]


Interpretace:
Budeme-li tento pokus vícekrát opakovat, pak asi v 13,9 % pokusů padne při hodu 2 homogenními kostkami součet právě 8, asi v 5,6 % pokusů padne na kostkách součin právě
8, asi v 30,6 % pokusů padne na kostkách součet čísel větší než jejich součin.


Do výtahu tříposchoďového domu vejdou v přízemí tři lidé. Každý z nich může se stejnou
pravděpodobností vystoupit v libovolném poschodí, počínaje prvním. Jaké jsou pravděpodobnosti toho, že
a) všichni vystoupí ve druhém poschodí
b) všichni vystoupí ve stejném poschodí
c) každý vystoupí v jiném poschodí
d) právě dva lidé vystoupí ve stejném poschodí?

Pokus: Zjištění, ve kterém patře jaká osoba vystoupí."

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta podnikatelská. Práce je ve formátu Adobe Acrobat (*.pdf). Obsahuje tabulky, vzorce a schémata. Čistý text dosahuje necelých 9 stran.