"Základní pojmy
Rovnice je základní matematický aparát umožˇ nující ˇrešení praktických
(napˇr. fyzikální nebo technických) úloh. Rovnice je vlastn ˇe
rovnost dvou výraz° u, které obsahují neznámou (nejˇcastˇ eji ozna-
ˇcujeme x, y, z). Úkolem je nalézt takovou hodnotu neznámé, pro
kterou nastane mezi výrazy rovnost, pak ˇríkáme, že tato hodnota
vyhovuje dané rovnici a tuto hodnotu nazýváme koˇrenem
rovnice.
Definiˇcní obor rovnice (D) je množina všech možných hodnot neznámých
v rovnici obsažených (napˇr. D = R, za definiˇcní obor
rovnice bereme reálná ˇcísla).
Množina ˇrešení rovnice (K) je množina obsahující všechny hodnoty
z D, které vyhovují rovnici. K je tedy podmnožinou D!
Levou stranou rovnice nazýváme výraz nalevo od rovnítka, pravou
stranou rovnice pak výraz napravo. Jestliže je jeden z t ˇechto výraz°
u nula, ˇríkáme, že rovnice je v anulovaném tvaru.
Zkouškou ovˇeˇríme, zda získané ˇrešení je koˇrenem dané rovnice.
Provádí se tak, že hodnotu získanou ˇrešením rovnice dosadíme
nejprve do levé strany rovnice a pak do pravé. Obˇe získané hodnoty
porovnáme, nastane-li rovnost, je dosazované ˇcíslo opravdu
ˇrešením rovnice.
Pˇri ˇrešení rovnice provádíme úpravy, které mají za následek zjednodušování
rovnice až na tvar, ze kterého umíme snadno koˇreny
rovnice urˇcit. Úpravy rozdˇelujeme na ekvivalentní a d° usledkové
(neekvivalentní). Pˇri aplikaci pouze ekvivalentních úprav nemusíme
provádˇ et zkoušku, pokud však pˇri ˇrešení použijeme d°usledkovou
úpravu, musíme ovˇeˇrit, zdali jsou všechna získaná ˇrešení
i ˇrešeními p°uvodní rovnice.
Ekvivalentní úpravy
(D je definiˇcní obor rovnice)
Co se stane s rovnicí
4x + 3 = 1
Vzájemná výmˇena stran rovnice. 1 = 4x + 3
Pˇriˇctení nebo odeˇctení výrazu, který je
definován na D k obˇema stranám rce. 4x+3+2x = 1+2x
Vynásobení nebo vydˇ elení obou stran
rovnice nenulovým výrazem definovaným
na D.
(4x + 3) · 4 = 1 · 4
(4x + 3) : 3 = 1 : 3
Umocnˇení nebo odmocnˇení obou stran
rovnice, jsou-li obˇe strany nezáporné
v definiˇcním oboru D.
(4x + 3)2 = 12
p
4x + 3 =
p
1
(jen na vhodném D)
Zlogaritmování obou stran rovnice, jsouli
obˇe strany rovnice kladné v D. log3(4x+3) = log3 1
Mezi d°usledkové úpravy patˇrí napˇr. umocnˇení obou stran rovnice,
jestliže nezaruˇcíme, že jsou obˇe strany nezáporné.
Lineární rovnice
Lineární rovnicí nazýváme rovnici tvaru ax + b = 0, kde a, b jsou
reálná ˇcísla a x neznámá (napˇr. 5x + 3 = 0 apod.).
Poˇcet ˇrešení lineární rovnice ax + b = 0
a 6= 0 a = 0 ^ b = 0 a = 0 ^ b 6= 0
rovnice má právˇe
jedno ˇrešení
rovnice má
nekoneˇcnˇe mnoho
ˇrešení
rovnice nemá
žádné ˇrešení
K = {− b
a} K = R K = ;
Grafické ˇrešení rovnice ax + b = 0
f :y = ax+b
0 x
y
− ba
f :y = 0
0 x
y
f :y = 0
0 x
y
Neexistuje pr °useˇcík funkce f
a osy x, rovnice tedy nemá
ˇrešení.
Prˇíklad. Rˇ ešme rovnici 4y+3
3
− 1
3 = 1 − 5(1−y)
6 a proved’me zkoušku.
4y + 3
3
−
1
3
= 1 −
5(1 − y)
6
/ · 6
2(4y + 3) − 2 = 6 − 5(1 − y)
8y + 6 − 2 = 6 − 5 + 5y / − 5y
3y = −3 / : 3
y = −1
Nejdˇríve jsme vynásobili celou rovnici
6, abychom se zbavili zlomk° u,
pak jsme provedli úpravy obou
stran, poté jsme odeˇcetli 5y a 4,
abychom osamostatnili neznámou
na levé stranˇ e. Po vydˇ elení ˇcíslem
3 jsme získali výsledek.
Zkouška.
L =
4(−1)+3
3 − 1
3 = −13
− 1
3 = −2
3 , P = 1 −
5[1−(−1)]
6 = 1 − 10
6 = −2
3 ,
tedy L = P."

Práce obsahuje grafy a tabulky o rozsahu cca 1 strany.