Kvadratické rovnice

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zabývá kvadratickými rovnicemi. Nejprve popisuje základní kvadratické rovnice a vztahy mezi kořeny kvadratických rovnic. Poté popisuje kvadratické rovnice s parametrem a kvadratické rovnice s absolutní hodnotou.

Obsah

1.
Kvadratické rovnice
2.
Vztahy mezi kořeny kvadratických rovnic
3.
Kvadratické rovnice s parametrem
4.
Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou

Úryvek

"Kvadratická rovnice
Kvadratickou rovnicí nazýváme rovnici tvaru ax2+bx+c=0, kde
a 6= 0, b, c jsou reálná ˇcísla a x je neznámá (napˇr. x2+2x−3 =
= 0). Cˇ len ax2 nazýváme kvadratickým cˇ lenem, bx je lineární
ˇclen a c absolutní ˇclen.
Koˇreny (ˇrešení) nalezneme pomocí vzorce
x1,2 =
−b ±
p
b2 − 4ac
2a
,
kde
p
b2 − 4ac = D se nazývá diskriminant. Diskriminant se
ˇcasto poˇcítá jako první a pak se jeho hodnota dosadí do vzorce
pro výpoˇcet koˇren° u. Proˇc? Diskriminant nám totiž m°uže odpovˇ ed
ˇ et na d° uležitou otázku, kolik má rovnice koˇren° u.
a) Je-li D > 0, má rovnice dva r °uzné reálné koˇreny.
b) Je-li D = 0, má rovnice jeden dvojnásobný reálný koˇren.
c) Je-li D < 0, nemá rovnice v reálných ˇcíslech ˇrešení. V množin
ˇe komplexních ˇcísel však existují dva komplexnˇe sdružené
koˇreny.
Prˇíklad. Rˇ ešme pocˇetneˇ i graficky rovnici 3x2 + 9x + 6 = 0.
Nejdˇríve podle vzorce spoˇcteme diskriminant rovnice
D = 92 − 4 · 3 · 6 = 81 − 72 = 9.
Vidíme, že diskriminant je kladný, rovnice bude tedy mít dva r °uzné reálné ko-
ˇreny. Dosadíme do vzorce pro výpoˇcet koˇren°u
x1,2 =
−9 ± 3
2 · 4
, tedy x1 = −1, x2 = −2, K = {−1,−2}.
Grafické ˇrešení. Sestrojíme graf funkce f : y = 3x2 +9x+6, jímž je parabola
a hledáme pr °useˇcíky tohoto grafu s osou x.
x2 x1
V
y
x
Body x1, x2 jsou pr °useˇcíky funkce f a osy x,
jsou to tedy i koˇreny zadané rovnice. D°uležitým
bodem paraboly je vrchol V , pro jehož souˇradnice
platí
V [−
b
2a
; c −
b2
4a
].
Speciální tvary kvadratické rovnice
b = 0, ryze kvadratická c = 0, bez absolutního ˇclenu
Tvar rovnice: ax2 + c = 0 Tvar rovnice: ax2 + bx = 0
Je-li −c
a > 0, má tato rovnice
dva reálné, navzájem opaˇcné
koˇreny x1,2 = ±
p
−c
a .
Tato rovnice má dva reálné ko-
ˇreny. Jeden je nulový, druhý je
dán vzorcem x2 = −b
a .
Vztahy mezi koˇreny kvadratická rovnice
Mˇejme kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0. Vydˇelme ji ˇcíslem
a 6= 0. Získáme tak kvadratickou rovnici v normovaném tvaru,
x2 + px + q = 0. Pro koˇreny této rovnice platí vzorce
x1 + x2 = −
b
a
= −p, x1 · x2 =
c
a
= q.
TIP: Uvedených vzorc°u se používá pˇri ˇrešení úloh typu: „Sestav kvadratickou
rovnici jejíž koˇreny spl ˇ nují podmínku P“.
Pˇríklad. Sestavme rovnici, která má dvakrát vˇ etší koˇreny než rovnice
x2 − 2x − 3 = 0,
aniž byste tuto rovnici vyˇrešili.
Nejdˇríve oznaˇcíme koˇreny rovnice x2 − 2x − 3 = 0 jako X1 a X2 a ko-
ˇreny hledané rovnice jako x1 a x2. Sestavíme soustavu šesti rovnic na základˇe
vztah°u mezi koˇreny kvadratické rovnice a podmínek dvojnásobnosti.
X1 + X2 =2
X1X2 =−3
(1) Vztahy pro rovnici x2 − 2x − 3 = 0.
x1 + x2 =−p
x1x2 =q
(2) Vztahy pro hledanou rovnici.
x1 =2X1
x2 =2X2
(3) Podmínka dvojnásobnosti.
Vztahy (3) dosadíme do rovnic (2) a získáme rovnice
2X1 + 2X2 =−p
4X1X2 =q
Do t ˇechto rovnic dosadíme (1) a získáme
hodnoty p, q.
2 · 2=−p
4 · (−3)=q
Tedy p = −4, q = −12.
Hledaná rovnice má tvar x2 − 4x − 12 = 0."

Poznámka

Práce obsahuje grafy a tabulky o rozsahu cca 1 strany.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 45 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 38 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány ČSOB, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 35 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 630 kreditů (=35Kč).
  4. SMS platba (Slovensko) - 1,70€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29271
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 1,70€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse