"Základní pojmy
Mˇejme dva výrazy V1(x) a V2(x) s neznámou x. Máme urˇcit, pro
jaké x platí V1(x) < V2(x) resp. V1(x)  V2(x). Tuto úlohu
nazýváme nerovnicí s neznámou x.
Koˇreny nerovnice (ta ˇcísla, která spl ˇ nují danou nerovnost) hledáme
pomocí ekvivalentních úprav.
Ekvivalentní úpravy
(D je definiˇcní obor nerovnice)
Co se stane s
nerovnicí 4x > 3
Vzájemná výmˇena stran nerovnice se
souˇcasnou zmˇenou znaku nerovnosti
v opaˇcný.
3 < 4x
Pˇriˇctení nebo odeˇctení výrazu, který je
definován na D, k obˇema stranám nerovnice,
znak nerovnosti se nemˇ ení.
4x + 2 > 3 + 2
Vynásobení nebo vydˇ elení obou stran
nerovnosti kladným výrazem definovaným
na D, znak nerovnosti se nemˇ ení.
4x · 4>3 · 4
(4x) : 2>3 : 2
Vynásobení nebo vydˇ elení obou stran
nerovnosti záporným výrazem definovaným
na D, znak nerovnosti se obrátí.
4x · (−5)
p
3,
Zkouška se pˇri použití ekvivalentních úprav provádˇ et nemusí, m° užeme
však pomocí ní ovˇeˇrit správnost výsledku. U nerovnic dochází
ˇcasto k tomu, že množina koˇren°u obsahuje nekoneˇcnˇe
mnoho hodnot, což neumožˇnuje provést úplnou zkoušku (nelze
dosadit nekoneˇcnˇe mnoho ˇcísel).V tom pˇrípadˇe provádíme alespo
ˇn hrubé ovˇeˇrení, tj. dosadíme nˇekterá z ˇcísel patˇrící do získané
množiny koˇren°u (nerovnost musí platit) a i nˇekterá ˇcísla
mimo množinu koˇren°u (nerovnost nesmí platit).
Lineární nerovnice
Lineární nerovnicí s neznámou x 2 R nazýváme každou nerovnici
tvaru ax + b > 0 resp. ax + b  0, kde a, b jsou libovolná
reálná ˇcísla.
Prˇíklad. Rˇ ešme v R nerovnici 4 − 3x < 7(x + 2).
Ekvivalentními úpravami pˇrevedeme nerovnici na tvar, ze kterého lze snadno
získat množinu všech koˇren° u.
4 − 3x < 7x + 14 roznásobíme závorku
−3x < 7x + 10 od obou stran odeˇcteme 4
−10x < 10 vydˇelíme −10 (pozor na otoˇcení nerovnosti)
x > −1
Výsledek: K = (−1,+1).
Nerovnice v souˇcinovém nebo podílovém tvaru ˇrešíme metodou
interval ° u:
Prˇíklad. Rˇ ešme v R nerovnici 2x−1
x−2
 1 pˇrevedením na podílový tvar.
Nejdˇríve urˇcíme podmínky, zˇrejmˇe x 6= 2. Rovnici anulujeme a upravíme
2x − 1
x − 2
− 1  0 ,
2x − 1 − x + 2
x − 2
 0 ,
x + 1
x − 2
 0.
Nyní se ptáme, kdy je podíl dvou ˇcísel kladný. Podíl dvou ˇcísel je kladný právˇe
tehdy, když je ˇcitatel i jmenovatel souˇcasnˇe kladný nebo záporný. Abychom vyšet
ˇrili kladnost ˇci zápornost obou ˇcinitel ° u, použijeme metodu interval ° u.
1. Zjistíme nulové body. x + 1 = 0 , x = −1, x − 2 = 0 , x = 2.
2. Reálnou osu rozdˇelíme na intervaly a diskutujeme kladnost nebo zápornost
podílu:
−1 2
x
I1 = (−1,−1i I2 = h−1, 2i I3 = h2,+1)
x + 1  0 . . . . . − x + 1  0. . . . . . + x + 1  0. . . . . . +
x − 2  0 . . . . . − x − 2  0 . . . . . − x − 2  0 . . . . . +
jejich podíl . . . . . . . + jejich podíl . . . . . . . − jejich podíl . . . . . . . +
3. Ze schématu je zˇrejmé, že podíl je kladný pouze v intervalech I1 a I3.
Rˇ ešením je tedy sjednocení teˇchto intervalu° , musíme však dát pozor na
podmínku x 6= 2. Rˇ ešením je tedy množina I = I1 [ I2 \ {2} =
= (−1,−1i [ (2,+1).
Lineární nerovnice s abs. hodnotou
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou se ˇreší stejn ˇe jako rovnice s absolutní
hodnotou – pomocí metody interval ° u.
Prˇíklad. Rˇ ešme v R nerovnici |2x + 1| − |3 − x| < x.
1. Nejprve najdeme nulové body.
2x + 1 = 0, tedy x = −1
2 ,
3 − x = 0, tedy x = 3."

Práce obsahuje grafy a tabulky o rozsahu cca 1 strany.