"Základní pojmy
Posloupnost je funkce, jejímž definiˇcním oborem je podmnožina
pˇrirozených ˇcísel N. Funkˇcní hodnota této funkce pˇriˇrazená každému
pˇrirozenému ˇcíslu (oznaˇcme ho n) se nazývá n-tý ˇclen posloupnosti.
Známe dva základní typy posloupností:
- koneˇcná – definiˇcní obor je množina prvních k pˇrirozených
ˇcísel, zapisujeme:
a1, a2, . . . , ak nebo zkrácenˇe k
n=1
- nekoneˇcná – definiˇcním oborem je celá množina pˇrirozených
ˇcísel N, zapisujeme
a1, a2, . . . , an, . . . nebo zkrácenˇe 1
n=1
Grafem posloupnosti je množina
navzájem izolovaných
bod°u [n, an]. Napˇríklad
{1, 2, 4, 8, 16, . . .} je nekone
ˇcná posloupnost, v níž
a1 = 1, a2 = 2, . . . Graf
této posloupnosti je vpravo. 0 1 2 3 4 n
1 2
4
8
an
a1
a2
a3
a4
(Jsou zde znázornˇeny pouze první ˇctyˇri ˇcleny.)
Zadání posloupnosti
a) výˇctem ˇclen °u nebo graficky,
b) vzorcem pro n-tý ˇclen – libovolný ˇclen posloupnosti získáme
dosazením pˇríslušného n do vzorce,
pˇr. an = 5n − 2, pak a1 = 5 · 1 − 2 = 3, a2 = 5 · 2 − 2 = 8, . . .
c) rekurentnˇe – zadán první (nebo nˇekolik prvních) ˇclen posloupnosti
a vzorec pro výpoˇcet dalších ˇclen°u pomocí ˇclen°u
pˇredcházejících.
pˇr. a1 = 2, a2 = 3, an = 2an−1 + an−2, pak a3 = 2.3 + 2 = 8,
a4 = 2.8 + 3 = 19, . . .
Vlastnosti posloupnosti 1
n=1 – následující tabulka obsahuje
definice základních vlastností posloupnosti:
Jak posloupnost
nazýváme Jaké má vlastnosti
rostoucí 8n 2 N : an+1 > an
klesající 8n 2 N : an+1 < an
neklesající 8n 2 N : an+1  an
nerostoucí 8n 2 N : an+1  an
Jak posloupnost
nazýváme Jaké má vlastnosti
omezená shora
Existuje takové h 2 R, že pro každé n 2 N je
an  h.
Cˇ íslo h je horní hranice = každý cˇlen
posloupnosti je tedy menší nebo roven h.
omezená zdola
Existuje takové d 2 R, že pro každé n 2 N je
an  d.
Cˇ íslo d je dolní hranice = každý cˇlen
posloupnosti je tedy vˇ etší nebo roven d.
omezená Jestliže je omezená shora a zdola zároveˇ n.
Existuje horní hranice h i dolní hranice d.
Pˇríklad.
n
n−1
n+2
o1
n=1
je posloupnost zdola i shora omezená
(každý ˇclen posloupnosti je vˇ etší nebo roven 0 a menší než 1)
a rostoucí, nebot’
an+1−an =
n
n + 3
−
n − 1
n + 2
=
n2 + 2n − n2 − 3n + n + 3
(n + 2)(n + 3)
=
3
(n + 2)(n + 3)
> 0 ) an+1 > an."

Práce obsahuje tabulky a obrazce o rozsahu cca 2 stran.