"Definice limity, spojitost
Rozšíˇrená reálná osa – množina všech reálných ˇcísel obohacená
o nekoneˇcna, znaˇcíme ji R, tedy R = R [ {−1,1}.
Okolí bodu – množina bod°u „blízkých“ danému bodu, viz tabulka.
Okolí bodu a
název „stˇred“ okolí okolí (vždy je  > 0)
okolí a 2 R (a − , a + )
okolí, prstencové okolí a = +1
a = −1
(−1, x), x 2 R
(x,+1), x 2 R
prstencové okolí a 2 R (a − , a) [ (a, a + )
levé okolí a 2 R (a − , a)
pravé okolí a 2 R (a, a + )
Limita – hodnota L 2 R je limitou funkce f v bodˇe x0 2 R,
znaˇcíme L = limx!x0 f(x), jestliže f je definována na nˇ ejakém
prstencovém okolí x0 a platí-li
8U 2 U(L) 9P 2 P(x0) : x 2 P ) f(x) 2 U,
kde U(L) znaˇcí množinu všech okolí bodu L a P(x0) znaˇcí
množinu všech prstencových okolí bodu x0. Chceme-li definovat
limitu zleva resp. zprava, vezmeme za množinu P(x0)
množinu všech levých resp. pravých okolí bodu x0. Limitu
zleva resp. zprava znaˇcíme symbolem limx!x0− f(x) resp.
limx!x0+ f(x).
Názornˇe ˇreˇceno, ˇcíslo L 2 R je limitou funkce f v bodˇe x0 2 R,
jestliže se f(x) „blíží“ hodnotˇe L, kdykoli se x „blíží“ hodnotˇe x0.
Cˇ íslo L je limitou funkce f zleva (zprava), jestliže se f(x) „blíží“
k L, kdykoli se x „blíží“ k x0 zleva (zprava).
Spojitost – ˇrekneme, že funkce je spojitá v bodˇe x0 2 R, jestliže
f(x0) = limx!x0 f(x). Funkce je spojitá na otevˇreném intervalu
(a, b), jestliže je spojitá v každém bodˇe tohoto intervalu.
Názornˇe ˇreˇceno, spojitost funkce znamená, že její graf není „pˇretržený“.
Elementární funkce – tedy konstantní, mocninná, exponenciální,
logaritmická funkce a goniometrické funkce jsou spojité
v každém bodˇe svého definiˇcního oboru.
Výpocˇ ty limit
Operace s nekoneˇcny – abychom si usnadnili poˇcítání limit, definujeme
hodnoty následujících výraz° u:
Operace s nekoneˇcny
sˇ cítání násobení, dˇelení
1+1=1
a +1=1
a −1=−1
o
pro a 2 R
a ·1=1, a 2 (0,1i
a ·1=−1, a 2 h−1, 0)
a
±1 =0, a 2 R
Neurˇ cité výrazy – jsou to výrazy, jejichž hodnota není definována,
napˇríklad 0
0 , 1
1, 1−1, 0 ·1.
Aritmetika limit, x0 2 R
Podmínky: Limity vpravo musí existovat a výraz vpravo musí být
definován (nesmí jít o neurˇcitý výraz).
lim
x!x0

f(x) + g(x)

= lim
x!x0
f(x) + lim
x!x0
g(x)
lim
x!x0

f(x) − g(x)

= lim
x!x0
f(x) − lim
x!x0
g(x)
lim
x!x0

f(x) · g(x)

= lim
x!x0
f(x) · lim
x!x0
g(x)
lim
x!x0
f(x)
g(x)
=
limx!x0 f(x)
limx!x0 g(x)
Základní limity
lim
x!+1
xa =
8<
:
+1, a > 0
1, a = 0
0, a < 0
lim
x!0+
xa =
8<
:
0, a > 0
1, a = 0
+1, a < 0
lim
x!−1
ax=
8<
:
0, a > 1
1, a = 1
+1, a2(0, 1)
lim
x!+1
ax=
8<
:
+1, a > 1
1, a = 1
0, a2(0, 1)
lim
x!0+
logax=

+1, a2(0, 1)
−1, a > 1
lim
x!1
logax=

−1, a2(0, 1)
+1, a > 1
lim
x!±1
sin x – neexistuje lim
x!±1
cos x – neexistuje
Pˇríklad. Podle aritmetiky limit a díky spojitosti funkcí y = x a y = c platí
lim
x!1
(x2 + 3) = lim
x!1
x2 + lim
x!1
3 = lim
x!1
x · lim
x!1
x + 3 = 1 · 1 + 3.
Pˇríklad. V následujícím pˇríkladu nelze okamžitˇe použít vˇetu o limit ˇe podílu, protože
bychom dostali neurˇcitý výraz 1
1. Po zkrácení x2 ale už vˇeta o aritmetice limit
použít jde:
lim
x!1
2x2 + 2x − 4
x2 − 1
= lim
x!1
2 + 2
x − 4
x2
1 − 1
x2
=
limx!1(2 + 2
x − 1
x2 )
limx!1(1 − 1
x2 )
=
2
1
.
Pˇríklad. Abychom mohli použít aritmetiku limit, musíme nejprve zkrátit (x − 1):
lim
x!1
2x2 + 2x − 4
x2 − 1
= lim
x!1
2(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x + 1)
= lim
x!1
2(x + 2)
x + 1
= 3.
Složit ˇ ejší limity bývá nejjednodušší poˇcítat pomocí l’Hospitalova pravidla, které je vysvˇetleno dále."

Práce obsahuje tabulky a vzorce o rozsahu cca 2 stran.