"1.3 Základy planimetrie a stereometrie
1.3.1 Pythagorova věta a její užití
V kap. 1.2.5 na str. 74, v ukázce, bylo znění Pythagorovy věty uvedeno takto: „Obsah
čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníku je
roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).“
Většině z Vás se toto znění možná moc nelíbí, protože si pamatujete vztah:
(1.3.1) c2 = a2 + b2 .
92
Toto symbolické vyjádření ale samo o sobě vůbec nemusí být vyjádřením Pythagorovy věty a
vůbec nemusí být pravdivé. Abyste mohli takto Pythagorovu větu vyjádřit, tak musíte mít
v eukleidovské rovině E2 dán pravoúhlý trojúhelník (například ABC), kde si jeho přeponu
(nejdelší stranu) označíte jako c a odvěsny (kratší strany) jako a a b. Samozřejmě, že
a, b, cÎ(0; ¥) a tvoří pravoúhlý trojúhelník. Na následujících dvou obrázcích je grafická
reprezentace symbolického i slovního vyjádření Pythagorovy věty.
Obr. 1.3.1: Pravoúhlý trojúhelník Obr. 1.3.2: Čtverce nad stranami trojúhelníku
Důkaz Geometrický důkaz:
Obr. 1.3.3: První důkaz Pythagorovy věty Obr. 1.3.4: Druhý důkaz Pythagorovy věty
Čtverec o straně a + b můžete rozložit dvěma způsoby.
První způsob je na obr. 1.3.3. Velký čtverec o straně a + b byl rozložen na čtyři shodné
pravoúhlé trojúhelníky (fialový, zelený, světle modrý a tmavě modrý) o odvěsnách a, b a
přeponě c a na dva žluté čtverce, z nichž jeden má délku strany a a druhý délku strany b.
Početně je obsah velkého čtverce ( )2 P = a + b roven součtu obsahů žlutých čtverců a čtyř
trojúhelníků, tedy a b ab
a b
P a b 2
2
= 2 + 2 + 4 × × = 2 + 2 + .
Druhý způsob je na obr. 1.3.4. Čtverec o straně a + b byl rozložen na čtyři shodné pravoúhlé
trojúhelníky (fialový, zelený, světle modrý a tmavě modrý) o odvěsnách a, b a přeponě c a na
jeden žlutý čtverce o straně c. Početně je obsah velkého čtverce ( )2 P = a + b součtem obsahu
žlutého čtverce o straně c a čtyř pravoúhlých trojúhelníků, tedy c ab
a b
P c 2
2
= 2 + 4 × × = 2 + .
Protože se jedná vždy o tentýž velký čtverec, musí se jeho obsah (vypočtený dvěma různými
způsoby) rovnat, tedy a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab⇒ a2 + b2 = c2 , což je tvrzení Pythagorovy
věty.
Pyth. čísla Pythagorejská čísla jsou trojice přirozených čísel, která vyhovují Pythagorově větě tj. jsou to
trojice přirozených čísel a, b, c takových, že platí a2 + b2 = c2 . Pythagorejská čísla jsou např.
trojice (3; 4; 5), (5;12;13), (8;15;17), (20; 21; 29), (7; 24; 25), (9; 40; 41), atd., nebo jejich
násobky, jako (6; 8;10), (9;12;15), (12;16; 20), (10; 24; 26), atd."

Práce obsahuje výpočty a obrázky o rozloze cca 50 stránek.

PRÁCE BYLA UVOLNĚNA BEZ NÁROKU NA HONORÁŘ