Číselné obory II.

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zabývá číselnými obory neboli její druhou částí. Popisuje mocniny a odmocniny v množině reálných čísel, komplexní čísla i s příklady. První část naleznete zde.

Obsah

1.
Mocniny a odmocniny v množině R
2.
Komplexní čísla

Úryvek

"Mocniny a odmocniny v množineˇ R
r-tá mocnina ˇ císla a – znaˇcíme ar, kde r urˇcuje kolikrát máme
vynásobit a samo sebou. Pˇríklad. a5 = a · a · a · a · a.
r-tá odmocnina ˇ císla a – znaˇcíme r
p
a – odmocˇnování je opaˇcná
operace k mocnˇení – chceme-li nalézt takové ˇcíslo, které nám po
umocnˇení na r dá ˇcíslo a, musíme ˇcíslo a odmocnit (r-tá odmocnina).
Vzorce pro poˇ cítání s mocninami (r, s 2 R)
souˇcin mocnin o
stejném základu aras = ar+s
podíl mocnin o stejném
základu ar : as = ar
as = ar−s
umocnˇení mocniny (ar)s = ars
umocnˇení souˇcinu (ab)r = aras
umocnˇení podílu ( a
b )r = ar
br
Vzorce pro poˇ cítání s odmocninami (r 6= 0, s 6= 0)
odmocnˇení souˇcinu r
p
ab = r
p
a r
p
b
odmocnˇení podílu r
p a
b =
r p
a
r p
b
zámˇennost odmocniny
a mocniny ( r
p
a)t = r
p
at
odmocnˇení odmocniny s
p
r p
a = sr
p
a
Vztah mezi odmocninou a mocninou r 6= 0
r p
as = a
s
r
Mocnina se záporným mocnitelem
a−r =
1
ar .
Pˇríklad. Pomocí výše uvedeného vzorce se m°užeme zbavit záporných
mocnin, což je ˇcasto vyžadováno pˇri úpravách výraz° u.
Napˇr: a−1 =
1
a
.
Komplexní cˇ ísla
Komplexní ˇcíslo je ˇcíslo ve tvaru z = a + bi, kde a oznaˇcuje reálnou
ˇcást (oznaˇcovaná jako Re z), b imaginární ˇcást (zapisujeme
jako Im z) a i oznaˇcuje imaginární jednotku. Co je to? Imaginární
jednotka má jednu zajímavou vlastnost, a to takovou, že platí:
i2 = −1.
Komplexní ˇcíslo m°užeme také zapisovat pomocí uspoˇrádané dvojice
[a, b], kde je opˇ et a reálná a b imaginární ˇcást. Tento zápis
je vhodný pro znázornˇení komplexních ˇcísel v Gaussovˇe rovinˇe
(a, b jsou pak vlastn ˇe souˇradnice):
z=a+bi
[a,b]
0 a=Rez
b=Imz
x
y
r=|z|

Osa x se nazývá reálná, osa y imaginární
Ryze imaginární ˇcíslo – takové komplexní ˇcíslo, které má nulovou
reálnou ˇcást (a = 0).
Pˇríklad: 2i,−i, 5i. . . ale NE: 4 + 2i, 3 − 2i.
Komplexnˇe sdružené ˇcíslo – mˇejme komplexní ˇcíslo z = a + bi,
pak ˇcíslo a − bi nazýváme komplexnˇe sdruženým ˇcíslem k ˇcíslu
z a oznaˇcujeme ho ¯z. Platí d° uležitý vztah: z¯z = a2 + b2.
Napˇr. 1 − 2i je komplexnˇe sdružené k 1 + 2i, ˇcíslo 5i je komplexn
ˇe sdružené k −5i.
Rovnost komplexních ˇ císel – dvˇe komplexní ˇcísla (z1 = a1+b1i,
z2 = a2 + b2i) jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich složky
(reálné i komplexní), tedy a1 = a2, b1 = b2.
Operace +,=, ·,÷ s komplexními ˇ císly
z1 +z2 = (a1 +b1i)+(a2 +b2i) = (a1 +a2)+(b1 +b2)i
z1 −z2 = (a1 +b1i)−(a2 +b2i) = (a1 −a2)+(b1 −b2)i
z1 · z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) =
(a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
komplexní ˇcísla se násobí po složkách (jako když roznásobujeme
dvˇe závorky algebraického výrazu)
z1
z2
=
a1 + b1i
a2 + b2i
a2 − b2i
a2 − b2i
=
a1a2 + b1b2
a22
+ b22
+
a2b1 − a1b2
a22
+ b22
i
pˇri dˇ elení využíváme vlastností komplexnˇe sdruženého ˇcísla
(rozšiˇrujeme první zlomek ˇcíslem komplexnˇe sdruženým k z2)"

Poznámka

Práce obsahuje tabulky a graf o rozsahu cca 3 stran.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29248
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse