Seminarky.cz > Diplomky, bakalářky > Bakalářské práce > > Kombinatorika v příkladech klasické pravděpodobnosti - bakalářská práce

Kombinatorika v příkladech klasické pravděpodobnosti - bakalářská práce

Kategorie: Matematika

Typ práce: Bakalářské práce

Škola: Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta, Olomouc

Charakteristika: Bakalářská práce se skládá ze dvou částí. První zahrnuje historii, základní pojmy a definice pravděpodobnosti, včetně pravděpodobnosti podmíněné a nezávislých jevů. Druhá část se věnuje fungování kombinatoriky, ukázanému na konkrétních příkladech, které jsou pak porovnány s podmíněnou pravděpodobností.

Obsah

1
Historie
2
Pravděpodobnost
2.1
Základní pojmy
2.2
Definice pravděpodobnosti
2.2.1
Klasická (Laplaceova) definice
2.2.2
Geometrická definice
2.2.3
Statistická (frekvencionistická) definice
2.2.4
Axiomatická (Kolmogorova) definice
2.3
Podmíněna pravděpodobnost
2.4
Nezávisle jevy
3
Kombinatorika
4
Příklady

Úryvek

“3 Kombinatorika
Kombinatorika se zabývá studiem výběrů, jejichž prvky jsou cleny konečných
množin. Velmi snadno ji lze tedy použít při řešení některých úloh z počtů klasické
pravděpodobnosti. Podle povahy řešeného problému se přihlíží k tomu, zda se
prvky dané množiny ve výběru opakují či nikoliv, zda záleží na pořadí v jakém
prvky vybíráme atd.
Definice 3.1 Uvazujme neprázdnou množinu M a přirozené číslo k. Uspořádanou
k-ticı prvků z množiny M budeme rozumět libovolný prvek kartézského
součinu
M ×M × . . . ×M
| k−{kzrat }
= Mk.
Poznámka 3.1 Můžeme hovořit také o neuspořádané k-tici prvků z množiny
M, kde k _ |M| (|M| udává mohutnost množiny M). Míníme tím libovolnou
k-prvkovou podmnožinu množiny M.
Veta 3.1 (Princip součtu) Nechť Ai, i = 1, 2, . . . , n, jsou konečné množiny
takové, ze Ai Aj = ; pro všechna i 6= j a nechť A = Sn
i=1 Ai. Pak platí
|A| = |A1| + |A2| + • • • + |An| =
nX
i=1 |Ai| .
Veta 3.2 (Princip součinu) Nechť n je přirozené číslo a Aj , j = 1, 2, . . . , n,
jsou konečné množiny takové, že |Aj | = kj . Pak kartézský součin A1×A2×. . .×An
má k1k2 . . . kn prvků, tj. platí
|A1 × A2 × . . . × An| = |A1| • |A2| • . . . • |An| .
Definice 3.2 Nechť n je přirozené číslo. Permutací n prvků budeme rozumět
Uspořádanou n-tici navzájem různých prvků z dané n-prvkové množiny M.
Veta 3.3 Pro počet P (n) všech permutací z n prvků platí
P (n) = Vn (n) =
n!
(n − n)!
=
n!
0!
= n!.
Definice 3.3 Nechť k _ n jsou přirozená čísla. Permutací s opakováním nprvkov
e množiny M budeme rozumět každou uspořádanou k-tici sestavenou z prvků
u této množiny, v níž se každý prvek množiny M vyskytuje aspoň jednou.
11
Veta 3.4 Pro počet P0 (i1, i2, . . . , ik) všech permutací s opakováním, v nichž se
první prvek vyskytuje i1-krat, druhy prvek i2-krat, atd. až na k-ty prvek ik-krat,
kde i1 + i2 + • • • + ik = n, platí
P0 (i1, i2, . . . , ik) =
(i1 + i2 + • • • + ik = n)!
i1!i2! . . . ik!
=
n!
i1!i2! . . . in!
.
Poznámka 3.2 Je-li i1 = i2 = . . . = ik = 1, jedná se o permutace (bez opakování
).
Definice 3.4 Nechť k _ n jsou přirozená čísla. Variací k-té třídy z dané
n-prvkové množiny M (k-člennou variaci z n prvků) budeme rozumět každou
uspořádanou k-ticí navzájem různých prvků z dané n-prvkové množiny M.
Veta 3.5 Pro počet Vk (n) všech Variací k-té třídy z dané n-prvkové množiny
platí
Vk (n) = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) =
n!
(n − k)!."

Poznámka

Při obhajobě ohodnoceno známkou výborně.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera14197
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse