1

Historie

2	Pravděpodobnost

2.1	Základní pojmy

2.2	Definice pravděpodobnosti

2.2.1

Klasická (Laplaceova) definice

2.2.2

Geometrická definice

2.2.3

Statistická (frekvencionistická) definice

2.2.4

Axiomatická (Kolmogorova) definice

2.3	Podmíněna pravděpodobnost

2.4	Nezávisle jevy

3	Kombinatorika

4

Příklady

“3 Kombinatorika
Kombinatorika se zabývá studiem výběrů, jejichž prvky jsou cleny konečných
množin. Velmi snadno ji lze tedy použít při řešení některých úloh z počtů klasické
pravděpodobnosti. Podle povahy řešeného problému se přihlíží k tomu, zda se
prvky dané množiny ve výběru opakují či nikoliv, zda záleží na pořadí v jakém
prvky vybíráme atd.
Definice 3.1 Uvazujme neprázdnou množinu M a přirozené číslo k. Uspořádanou
k-ticı prvků z množiny M budeme rozumět libovolný prvek kartézského
součinu
M ×M × . . . ×M
| k−{kzrat }
= Mk.
Poznámka 3.1 Můžeme hovořit také o neuspořádané k-tici prvků z množiny
M, kde k _ |M| (|M| udává mohutnost množiny M). Míníme tím libovolnou
k-prvkovou podmnožinu množiny M.
Veta 3.1 (Princip součtu) Nechť Ai, i = 1, 2, . . . , n, jsou konečné množiny
takové, ze Ai Aj = ; pro všechna i 6= j a nechť A = Sn
i=1 Ai. Pak platí
|A| = |A1| + |A2| + • • • + |An| =
nX
i=1 |Ai| .
Veta 3.2 (Princip součinu) Nechť n je přirozené číslo a Aj , j = 1, 2, . . . , n,
jsou konečné množiny takové, že |Aj | = kj . Pak kartézský součin A1×A2×. . .×An
má k1k2 . . . kn prvků, tj. platí
|A1 × A2 × . . . × An| = |A1| • |A2| • . . . • |An| .
Definice 3.2 Nechť n je přirozené číslo. Permutací n prvků budeme rozumět
Uspořádanou n-tici navzájem různých prvků z dané n-prvkové množiny M.
Veta 3.3 Pro počet P (n) všech permutací z n prvků platí
P (n) = Vn (n) =
n!
(n − n)!
=
n!
0!
= n!.
Definice 3.3 Nechť k _ n jsou přirozená čísla. Permutací s opakováním nprvkov
e množiny M budeme rozumět každou uspořádanou k-tici sestavenou z prvků
u této množiny, v níž se každý prvek množiny M vyskytuje aspoň jednou.
11
Veta 3.4 Pro počet P0 (i1, i2, . . . , ik) všech permutací s opakováním, v nichž se
první prvek vyskytuje i1-krat, druhy prvek i2-krat, atd. až na k-ty prvek ik-krat,
kde i1 + i2 + • • • + ik = n, platí
P0 (i1, i2, . . . , ik) =
(i1 + i2 + • • • + ik = n)!
i1!i2! . . . ik!
=
n!
i1!i2! . . . in!
.
Poznámka 3.2 Je-li i1 = i2 = . . . = ik = 1, jedná se o permutace (bez opakování
).
Definice 3.4 Nechť k _ n jsou přirozená čísla. Variací k-té třídy z dané
n-prvkové množiny M (k-člennou variaci z n prvků) budeme rozumět každou
uspořádanou k-ticí navzájem různých prvků z dané n-prvkové množiny M.
Veta 3.5 Pro počet Vk (n) všech Variací k-té třídy z dané n-prvkové množiny
platí
Vk (n) = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) =
n!
(n − k)!."

Při obhajobě ohodnoceno známkou výborně.