Seminarky.cz > Studijní podklady > Skripta, učební texty > > Analytická geometrie II.

Analytická geometrie II.

Kategorie: Matematika, Profi práce

Typ práce: Skripta, učební texty

Škola: nezadáno/škola není v seznamu

Charakteristika: Práce se zaměřuje na analytickou geometrii. Ve druhé části se zabývá přímkou v rovině, vzájemnými polohami v rovině a nakonec metrickými vlastnostmi v rovině. První část naleznete zde a třetí část naleznete zde.

Obsah

1.
Přímka v rovině
2.
Vzájemné polohy v rovině
3.
Metrické vlastnosti v rovině

Úryvek

"Prˇímka v rovineˇ
K popsání pˇrímky potˇrebujeme bud’ 2 r °uzné body nebo 1 bod a vektor.
Parametrická rovnice pˇrímky
p: x = a1 + t · v1
y = a2 + t · v2

t 2 R je parametr.
Pˇrímka p je urˇcena bodem A[a1; a2] a smˇerovým vektorem
v = (v1; v2). Symbolicky zapisujemeX = A+tv, kde t 2 R.
0 x 0 x
y y
.
A
B
v
t v
X = A + t v
parametrické vyjádˇrení obecné vyjádˇrení
p
n = (a; b) = (−v2; v1)
v=(v1; v2)=(−b; a)
Obecná rovnice pˇrímky
p: ax + by + c = 0,
kde a, b jsou souˇradnice normálového vektoru n = (a; b),
který je kolmý k pˇrímce p a získáme ho ze smˇerového vektoru v
tak, že prohodíme souˇradnice v a u jedné souˇradnice zmˇeníme
znaménko (po prohození) – v tomto pˇrípadˇe má smˇerový vektor
v souˇradnice (−b; a).
Smˇernicový tvar rovnice pˇrímky
1. Máme-li k dispozici obecnou rovnici pˇrímky, vyjádˇríme z ní y
a získáváme (musíme pˇredpokládat, že b není 0):
p: y = kx + q, kde k = −
a
b
, q = −
c
b
k nazýváme smˇ ernicí pˇrímky a platí k = tg , kde je
úhel, který svírá pˇrímka p s osou x.
2. Je-li pˇrímka urˇcena dvˇema body A[a1; a2], B[b1; b2], lze ur-
ˇcit rovnici pˇrímky ve tvaru:
p: y − a2 =
b2 − a2
b1 − a1
(x − a1), kde b1 6= a1
POZOR! Jestliže je pˇrímka rovnobˇežná s osou y, pak má
smˇ ernicový tvar rovnice pˇrímky tvar
p: x = m, kde m 2 R.
0 x 0 x
y y
smˇ ernicový tvar v pˇrípadˇe
znalosti dvou bod°u A, B
smˇ ernicový tvar v pˇrípadˇe
znalosti obecné rovnice pˇrímky
| {z }
b1−a1

b2 − a2


k = tg
p
p
A[a1; a2]
B[b1; b2]
o
q
Úsekový tvar rovnice pˇrímky p
p:
x
p
+
y
q
= 1, p = −
c
a
, q = −
c
b
a p 6= 0 ^ q 6= 0
Reálná ˇcísla p, q jsou úseky, které pˇrímka
vytíná na osách x a y. POZOR – pouze
pro pˇrímky, které nejsou rovnobˇežné s osami
souˇradnic.
0 x
y
| {z }
p
)
q
Vzájemné polohy v rovineˇ
Vzájemná poloha bodu a pˇrímky
1. bod X[x0; y0] leží na pˇrímce p, jestliže jeho souˇradnice vyhovují
rovnici pˇrímky, tj. po dosazení za x a y v rovnici pˇrímky
se levá strana rovná pravé
2. vzdálenost bodu X[x0; y0] od pˇrímky p je dána vztahem:
v(X, p) =
|ax0 + by0 + c|
p
a2 + b2
Vzájemná poloha dvou pˇrímek
mˇejme 2 pˇrímky p1: a1x + b1y + c1 = 0, p2: a2x + b2y +
+c2 = 0, pak pro normálové vektory platí: n1 = (a1; b1),
n2 = (a2; b2)
Podle následujícího diagramu lze snadno rozhodnout o vzájemné
poloze pˇrímek.
Jsou vektory rovnobˇežné?
Platí n1 = k n2, kde k je
ANO reálné cˇíslo?
NE
Najdeme libovolný bod ležící
na pˇrímce p1 (to udˇeláme
tak, že jednu jeho souˇradnici
zvolíme a dosadíme do
obecné rovnice, vznikne tak
rovnice o jedné neznámé,
kterou vyˇrešíme a máme 2.
souˇradnici).
Dosadíme získaný bod do
obecné rovnice druhé pˇrímky
a ptáme se:
Vyhovuje bod i druhé
rovnici?
Pˇrímky jsou r °uznobˇežné a jejich
pr °useˇcík vypoˇcteme tak, že vyˇrešíme
soustavu rovnic s neznámými x, y:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
Pokud navíc platí
n1 · n2 = 0
(skalární souˇcin normálových vektor °u je
nulový), pak jsou na sebe pˇrímky kolmé.
ANO
NE Pˇrímky jsou rovnobˇežné, ale
r °uzné (nesplývají).
Pˇrímky jsou rovnobˇežné a
splývají (jedná se tedy o
jednu a tutéž pˇrímku).
POZOR! Výše uvedený diagram lze snadno využít i v pˇrípadˇe pˇrímek
zadaných parametricky – pak nemusíme hledat bod, nebot’
je ho možné ihned vyˇcíst z rovnic. Podmínku rovnobˇežnosti pak
klademe samozˇrejmˇe na smˇerové vektory."

Poznámka

Práce obsahuje tabulky a grafy o rozsahu cca jeden a půl strany.

Vlastnosti

STÁHNOUT PRÁCI

  1. SMS platba (ČR) 15 Kč

    Platba prostřednictvím brány mobilního operátora. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    V případě potíží s realizací platby se neváhejte obrátit na infolinku poskytovatele služby, společnost Advanced Telecom Services s.r.o., na čísle +420 776 999 199

    Nápověda pro zákazníky Telefónica O2:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Telefónica O2 a klikněte na POTVRDIT.
    2. Zobrazí se Vám informace, že SMS byla odeslána.
    3. Na mobilní telefon Vám bude doručena SMS zpráva s odkazem.
    4. Klikněte na odkaz v SMS zprávě, budete propojeni na platební bránu společnosti Telefónica O2. Zde potvrďte platbu.
    5. Na internetu se zobrazí výsledek proběhlé platby.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „O2 platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky Vodafone:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora Vodafone a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na Vodafone portál.
    3. Potvrďte Vaše mobilní číslo kliknutím na DALŠÍ. .
    4. Na Váš mobilní telefon přijde SMS zpráva s kódem.
    5. Zadejte tento kód do formuláře, klikněte na OK.
    6. Objeví se Vám údaje o platbě, kterou potvrďte kliknutím na POKRAČOVAT.
    7. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-peněženka“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.

    Nápověda pro zákazníky T-mobile:

    1. Vyplňte Vaše číslo na mobil, zvolte jako operátora T-mobile a klikněte na POTVRDIT.
    2. Dojde k přesměrování na T-mobile portál, potvrďte zde svůj souhlas s podmínkami platby.
    3. Pokud máte na T-zones účet, přihlaste se a pokračujte bodem 7.
    4. Pokud účet na T-zones nemáte, vepište do formuláře svoje mobilní číslo a klikněte na ODESLAT ČÍSLO.
    5. Přijde Vám SMS zpráva s kódem.
    6. Vepište kód jako heslo do formuláře a klikněte na PŘIHLÁSIT.
    7. Objeví se Vám údaje o platbě, které potvrďte kliknutím na tlačítko ZAPLATIT.
    8. V té chvíli proběhne platba, o jejímž výsledku Vás informuje došlá SMS zpráva.
    Pro úspěšnou realizaci platby je nutné mít aktivní službu „M-platba“. Služba je většinou aktivní automaticky, takže není třeba nejdřív nic aktivovat.
  2. Platit kartou 15 Kč

    Platba kartou. Pro započetí platebního procesu prosím vyplňte kontrolní kód a stiskněte tlačítko "Zaplatit"

    Po proběhnutí platby budete přesměrováni zpět na tuto stránku, kde najdete odkaz ke stažení práce.


    Po odeslání kontrolního kódu budete přesměrováni do platební brány GP webpay, kde zadáte údaje potřebné pro platbu. Platbu dokončíte stisknutím tlačítka "ZAPLATIT".

    Akceptované karty: VISA, VISA Electron, V PAY, MasterCard, Maestro.

  3. Koupit za kredity - 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Jedním stiskem tlačítka, obratem a za výhodnou cenu!
    JEN PRO REGISTROVANÉ UŽIVATELE
    Cena za stažení je pouze 180 kreditů (=10Kč).
  4. Platit převodem z ČSOB a Poštovní spořitelny, službou PaySec 10 Kč >>> ZVÝHODNĚNÁ CENA!
    Rychle, bezpečně a pohodlně.
    Zaplatit za tuto práci přes PaySec >>> Kliknutí na odkaz Vás přesměruje do platebního rozhraní
    Kliknutím na ikonku Vás přesměrujeme do platebního systému, kde si vyberete převod z ČSOB, Poštovní spořitelny nebo platbu PaySec
  5. SMS platba (Slovensko) - 0,60€
    Stahovací kód k této práci získáte do několika minut se službou mobilního operátora Premium Rate SMS.
    Zašlete SMS zprávu ve tvaru: SEMmezera29279
    - na telefonní číslo: 8877
    Cena jedné SMS je 0,60€ včetně DPH. Pro využití SMS platby je třeba mít aktivovanou službu Premium Rate SMS. Službu technicky zajišťuje Advanced Telecom Services, s. r. o.
    SMS musí být ve formátu TEXT, bez diakritiky a bez formátování (tj. základní velikost a typ písma). Stahovací kód je použitelný pouze pro tuto práci a je platný až do uzavření okna internetového prohlížeče.
    Stahovací kód přijde obratem na mobil, je platný 24 hodin a lze jej zadat celkem dvakrát.
    Pro stažení této práce zadejte stahovací kód (bez uvozovek):


Důležité informace: Provedením mobilní platby, odesláním SMS, platbou kredity, platbou kartou, PaySecem nebo převodem z účtu souhlasíte s Podmínkami stahování.
Veškeré informace o platbách si můžete přečíst zde.
Máte při placení nebo stahování práce problém? Odpovědi na časté problémy najdete zde nebo kontaktujte naší podporu.

Diskuse